Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ x^3*2^x

Gráfico de la función y = x^3*2^x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3  x
f(x) = x *2
f(x)=2xx3f{\left(x \right)} = 2^{x} x^{3} 
f = 2^x*x^3
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102000000-1000000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
2xx3=02^{x} x^{3} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
Solución numérica
x1=−109.672236005325x_{1} = -109.672236005325
x2=−65.3435174909136x_{2} = -65.3435174909136
x3=−117.547019769671x_{3} = -117.547019769671
x4=−86.2382568689517x_{4} = -86.2382568689517
x5=0x_{5} = 0
x6=−103.782331028979x_{6} = -103.782331028979
x7=−123.466085176903x_{7} = -123.466085176903
x8=−74.7215678877385x_{8} = -74.7215678877385
x9=−113.606884378955x_{9} = -113.606884378955
x10=−125.441195116795x_{10} = -125.441195116795
x11=−99.8652380068859x_{11} = -99.8652380068859
x12=−70.9380581130249x_{12} = -70.9380581130249
x13=−107.707211632962x_{13} = -107.707211632962
x14=−90.1157658418881x_{14} = -90.1157658418881
x15=−59.8926280857726x_{15} = -59.8926280857726
x16=−115.576310451019x_{16} = -115.576310451019
x17=−67.1955195548266x_{17} = -67.1955195548266
x18=−78.5368800541949x_{18} = -78.5368800541949
x19=−111.638828064544x_{19} = -111.638828064544
x20=−131.371985642923x_{20} = -131.371985642923
x21=−121.491977161746x_{21} = -121.491977161746
x22=−105.743868399823x_{22} = -105.743868399823
x23=−84.30554008362x_{23} = -84.30554008362
x24=−69.0609603360786x_{24} = -69.0609603360786
x25=−129.39419631059x_{25} = -129.39419631059
x26=−82.377400564907x_{26} = -82.377400564907
x27=−61.6890438307113x_{27} = -61.6890438307113
x28=−94.0070890825653x_{28} = -94.0070890825653
x29=−97.9100023307089x_{29} = -97.9100023307089
x30=−58.1221693911743x_{30} = -58.1221693911743
x31=−119.51893298121x_{31} = -119.51893298121
x32=−127.417249796093x_{32} = -127.417249796093
x33=−72.8253380710796x_{33} = -72.8253380710796
x34=−101.822736957202x_{34} = -101.822736957202
x35=−80.4543267588133x_{35} = -80.4543267588133
x36=−88.1751238367849x_{36} = -88.1751238367849
x37=−63.5071295407446x_{37} = -63.5071295407446
x38=−92.0598519539103x_{38} = -92.0598519539103
x39=−76.6257091303517x_{39} = -76.6257091303517
x40=−95.9572166827786x_{40} = -95.9572166827786
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3*2^x.
03⋅200^{3} \cdot 2^{0}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
2xx3log⁡(2)+3⋅2xx2=02^{x} x^{3} \log{\left(2 \right)} + 3 \cdot 2^{x} x^{2} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3log⁡(2)x_{2} = - \frac{3}{\log{\left(2 \right)}}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

              -3 
  -3     -27*e   
(------, -------)
 log(2)     3    
         log (2)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−3log⁡(2)x_{1} = - \frac{3}{\log{\left(2 \right)}}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−3log⁡(2),∞)\left[- \frac{3}{\log{\left(2 \right)}}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−3log⁡(2)]\left(-\infty, - \frac{3}{\log{\left(2 \right)}}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2xx(x2log⁡(2)2+6xlog⁡(2)+6)=02^{x} x \left(x^{2} \log{\left(2 \right)}^{2} + 6 x \log{\left(2 \right)} + 6\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−3+3log⁡(2)x_{2} = \frac{-3 + \sqrt{3}}{\log{\left(2 \right)}}
x3=−3+3log⁡(2)x_{3} = - \frac{\sqrt{3} + 3}{\log{\left(2 \right)}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−3+3log⁡(2),−3+3log⁡(2)]∪[0,∞)\left[- \frac{\sqrt{3} + 3}{\log{\left(2 \right)}}, \frac{-3 + \sqrt{3}}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−3+3log⁡(2)]∪[−3+3log⁡(2),0]\left(-\infty, - \frac{\sqrt{3} + 3}{\log{\left(2 \right)}}\right] \cup \left[\frac{-3 + \sqrt{3}}{\log{\left(2 \right)}}, 0\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(2xx3)=0\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} x^{3}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(2xx3)=∞\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} x^{3}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3*2^x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(2xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(2^{x} x^{2}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(2xx2)=∞\lim_{x \to \infty}\left(2^{x} x^{2}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
2xx3=−2−xx32^{x} x^{3} = - 2^{- x} x^{3}
- No
2xx3=2−xx32^{x} x^{3} = 2^{- x} x^{3}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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