Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ sqrt(x^2)/x

Gráfico de la función y = sqrt(x^2)/x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          ____
         /  2 
       \/  x  
f(x) = -------
          x
f(x)=x2xf{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x^{2}}}{x} 
f = sqrt(x^2)/x
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10102-2
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2x=0\frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x^2)/x.
020\frac{\sqrt{0^{2}}}{0}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
0=00 = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
sign⁡(x)−∣x∣xx2=0\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\left|{x}\right|}{x}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=46x_{1} = 46
x2=−26x_{2} = -26
x3=58x_{3} = 58
x4=−20x_{4} = -20
x5=50x_{5} = 50
x6=80x_{6} = 80
x7=−100x_{7} = -100
x8=60x_{8} = 60
x9=26x_{9} = 26
x10=74x_{10} = 74
x11=72x_{11} = 72
x12=−52x_{12} = -52
x13=44x_{13} = 44
x14=−98x_{14} = -98
x15=−46x_{15} = -46
x16=−62x_{16} = -62
x17=−94x_{17} = -94
x18=14x_{18} = 14
x19=−2x_{19} = -2
x20=34x_{20} = 34
x21=−30x_{21} = -30
x22=86x_{22} = 86
x23=−88x_{23} = -88
x24=36x_{24} = 36
x25=−76x_{25} = -76
x26=−44x_{26} = -44
x27=−70x_{27} = -70
x28=−78x_{28} = -78
x29=78x_{29} = 78
x30=48x_{30} = 48
x31=−38x_{31} = -38
x32=−80x_{32} = -80
x33=−92x_{33} = -92
x34=30x_{34} = 30
x35=16x_{35} = 16
x36=68x_{36} = 68
x37=90x_{37} = 90
x38=38x_{38} = 38
x39=−56x_{39} = -56
x40=−72x_{40} = -72
x41=32x_{41} = 32
x42=70x_{42} = 70
x43=−58x_{43} = -58
x44=64x_{44} = 64
x45=−60x_{45} = -60
x46=−68x_{46} = -68
x47=8x_{47} = 8
x48=24x_{48} = 24
x49=62x_{49} = 62
x50=−24x_{50} = -24
x51=−6x_{51} = -6
x52=−4x_{52} = -4
x53=−54x_{53} = -54
x54=18x_{54} = 18
x55=52x_{55} = 52
x56=20x_{56} = 20
x57=96x_{57} = 96
x58=−64x_{58} = -64
x59=10x_{59} = 10
x60=54x_{60} = 54
x61=−84x_{61} = -84
x62=−48x_{62} = -48
x63=−8x_{63} = -8
x64=98x_{64} = 98
x65=4x_{65} = 4
x66=82x_{66} = 82
x67=−10x_{67} = -10
x68=−12x_{68} = -12
x69=56x_{69} = 56
x70=−66x_{70} = -66
x71=−90x_{71} = -90
x72=28x_{72} = 28
x73=−22x_{73} = -22
x74=−28x_{74} = -28
x75=−40x_{75} = -40
x76=40x_{76} = 40
x77=88x_{77} = 88
x78=94x_{78} = 94
x79=2x_{79} = 2
x80=22x_{80} = 22
x81=84x_{81} = 84
x82=−16x_{82} = -16
x83=−32x_{83} = -32
x84=−86x_{84} = -86
x85=−82x_{85} = -82
x86=92x_{86} = 92
x87=−36x_{87} = -36
x88=−74x_{88} = -74
x89=76x_{89} = 76
x90=−18x_{90} = -18
x91=6x_{91} = 6
x92=−34x_{92} = -34
x93=−14x_{93} = -14
x94=−96x_{94} = -96
x95=42x_{95} = 42
x96=66x_{96} = 66
x97=−42x_{97} = -42
x98=12x_{98} = 12
x99=100x_{99} = 100
x100=−50x_{100} = -50
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(sign⁡(x)−∣x∣xx2)=0\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\left|{x}\right|}{x}}{x^{2}}\right) = 0
lim⁡x→0+(sign⁡(x)−∣x∣xx2)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\operatorname{sign}{\left(x \right)} - \frac{\left|{x}\right|}{x}}{x^{2}}\right) = 0
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2x)=−1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\right) = -1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=−1y = -1
lim⁡x→∞(x2x)=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x^{2}}}{x}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x^2)/x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(∣x∣x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(∣x∣x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left|{x}\right|}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2x=−∣x∣x\frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = - \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
x2x=∣x∣x\frac{\sqrt{x^{2}}}{x} = \frac{\left|{x}\right|}{x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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