Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$15 x^{2} + 12 x - 7 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{141}}{15}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{141}}{15} - \frac{2}{5}$$
Signos de extremos en los puntos:
3 2
_____ / _____\ / _____\ _____
2 \/ 141 19 | 2 \/ 141 | | 2 \/ 141 | 7*\/ 141
(- - + -------, -- + 5*|- - + -------| + 6*|- - + -------| - ---------)
5 15 5 \ 5 15 / \ 5 15 / 15
3 2
_____ / _____\ / _____\ _____
2 \/ 141 19 | 2 \/ 141 | | 2 \/ 141 | 7*\/ 141
(- - - -------, -- + 5*|- - - -------| + 6*|- - - -------| + ---------)
5 15 5 \ 5 15 / \ 5 15 / 15
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{141}}{15}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{141}}{15} - \frac{2}{5}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{141}}{15} - \frac{2}{5}\right] \cup \left[- \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{141}}{15}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{141}}{15} - \frac{2}{5}, - \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{141}}{15}\right]$$