Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x^3+3*x^2+2
-
-sqrt(3*x+1)
-
x*(-1-log(x))
-
x+1/(x-1)^2
- Integral de d{x}:
- (x^3+1)/(x^2-x)
-
Expresiones idénticas
- (x^ tres + uno)/(x^ dos -x)
- (x al cubo más 1) dividir por (x al cuadrado menos x)
- (x en el grado tres más uno) dividir por (x en el grado dos menos x)
- (x3+1)/(x2-x)
- x3+1/x2-x
- (x³+1)/(x²-x)
- (x en el grado 3+1)/(x en el grado 2-x)
- x^3+1/x^2-x
- (x^3+1) dividir por (x^2-x)
-
Expresiones semejantes
- (x^3-1)/(x^2-x)
- (x^3+1)/(x^2+x)
Gráfico de la función y = (x^3+1)/(x^2-x)
Solución
Ha introducido
[src]
3
x + 1
f(x) = ------
2
x - x
$$f{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}$$
f = (x^3 + 1)/(x^2 - x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = -1$$
Solución numérica
$$x_{1} = -1$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} + \frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{2} - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}\right]$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} + \frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{2} - x\right)^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
3
/ ___ ___ 4 ___\
|1 \/ 3 \/ 2 *\/ 3 |
___ ___ 4 ___ 1 + |- + ----- + -----------|
1 \/ 3 \/ 2 *\/ 3 \2 2 2 /
(- + ----- + -----------, ------------------------------------------------------)
2 2 2 2
/ ___ ___ 4 ___\ ___ ___ 4 ___
1 |1 \/ 3 \/ 2 *\/ 3 | \/ 3 \/ 2 *\/ 3
- - + |- + ----- + -----------| - ----- - -----------
2 \2 2 2 / 2 2 3
/ ___ ___ 4 ___\
|1 \/ 3 \/ 2 *\/ 3 |
___ ___ 4 ___ 1 + |- + ----- - -----------|
1 \/ 3 \/ 2 *\/ 3 \2 2 2 /
(- + ----- - -----------, ------------------------------------------------------)
2 2 2 2
/ ___ ___ 4 ___\ ___ ___ 4 ___
1 |1 \/ 3 \/ 2 *\/ 3 | \/ 3 \/ 2 *\/ 3
- - + |- + ----- - -----------| - ----- + -----------
2 \2 2 2 / 2 2 Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left[- \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}\right]$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 1$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 1$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 1)/(x^2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} - x\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} - x\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} - x\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = x$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} - x\right)}\right) = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = x$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + x}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + x}$$
- No
$$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar