Sr Examen

Otras calculadoras

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 1-x^3 1-x^3
  • x^2+5 x^2+5
  • (x^3+4)/x^2 (x^3+4)/x^2
  • x^3-3*x^2+4 x^3-3*x^2+4
  • Integral de d{x}:
  • (x^3+1)/(x^2-x)

  • Expresiones idénticas

  • (x^ tres + uno)/(x^ dos -x)
  • (x al cubo más 1) dividir por (x al cuadrado menos x)
  • (x en el grado tres más uno) dividir por (x en el grado dos menos x)
  • (x3+1)/(x2-x)
  • x3+1/x2-x
  • (x³+1)/(x²-x)
  • (x en el grado 3+1)/(x en el grado 2-x)
  • x^3+1/x^2-x
  • (x^3+1) dividir por (x^2-x)

  • Expresiones semejantes

  • (x^3-1)/(x^2-x)
  • (x^3+1)/(x^2+x)
Trazado el gráfico de la función/ (x^3+1)/(x^2-x)

Gráfico de la función y = (x^3+1)/(x^2-x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3    
       x  + 1
f(x) = ------
        2    
       x  - x
f(x)=x3+1x2−xf{\left(x \right)} = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} 
f = (x^3 + 1)/(x^2 - x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-100100
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x3+1x2−x=0\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x^3 + 1)/(x^2 - x).
03+102−0\frac{0^{3} + 1}{0^{2} - 0}
Resultado:
f(0)=∞~f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2x2−x+(1−2x)(x3+1)(x2−x)2=0\frac{3 x^{2}}{x^{2} - x} + \frac{\left(1 - 2 x\right) \left(x^{3} + 1\right)}{\left(x^{2} - x\right)^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=12+32+2342x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}
x2=−2342+12+32x_{2} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
                                                                   3             
                                          /      ___     ___ 4 ___\              
                                          |1   \/ 3    \/ 2 *\/ 3 |              
       ___     ___ 4 ___              1 + |- + ----- + -----------|              
 1   \/ 3    \/ 2 *\/ 3                   \2     2          2     /              
(- + ----- + -----------, ------------------------------------------------------)
 2     2          2                                      2                       
                                /      ___     ___ 4 ___\      ___     ___ 4 ___ 
                            1   |1   \/ 3    \/ 2 *\/ 3 |    \/ 3    \/ 2 *\/ 3  
                          - - + |- + ----- + -----------|  - ----- - ----------- 
                            2   \2     2          2     /      2          2      

                                                                   3             
                                          /      ___     ___ 4 ___\              
                                          |1   \/ 3    \/ 2 *\/ 3 |              
       ___     ___ 4 ___              1 + |- + ----- - -----------|              
 1   \/ 3    \/ 2 *\/ 3                   \2     2          2     /              
(- + ----- - -----------, ------------------------------------------------------)
 2     2          2                                      2                       
                                /      ___     ___ 4 ___\      ___     ___ 4 ___ 
                            1   |1   \/ 3    \/ 2 *\/ 3 |    \/ 3    \/ 2 *\/ 3  
                          - - + |- + ----- - -----------|  - ----- + ----------- 
                            2   \2     2          2     /      2          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=12+32+2342x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}
Puntos máximos de la función:
x1=−2342+12+32x_{1} = - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−2342+12+32]∪[12+32+2342,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right] \cup \left[\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
[−2342+12+32,12+32+2342]\left[- \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sqrt[4]{3}}{2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(3−3(2x−1)x−1−(1−(2x−1)2x(x−1))(x3+1)x2(x−1))x−1=0\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−223−23−1x_{1} = - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1

lim⁡x→0−(2(3−3(2x−1)x−1−(1−(2x−1)2x(x−1))(x3+1)x2(x−1))x−1)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = \infty
lim⁡x→0+(2(3−3(2x−1)x−1−(1−(2x−1)2x(x−1))(x3+1)x2(x−1))x−1)=−∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión
lim⁡x→1−(2(3−3(2x−1)x−1−(1−(2x−1)2x(x−1))(x3+1)x2(x−1))x−1)=−∞\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→1+(2(3−3(2x−1)x−1−(1−(2x−1)2x(x−1))(x3+1)x2(x−1))x−1)=∞\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{2 \left(3 - \frac{3 \left(2 x - 1\right)}{x - 1} - \frac{\left(1 - \frac{\left(2 x - 1\right)^{2}}{x \left(x - 1\right)}\right) \left(x^{3} + 1\right)}{x^{2} \left(x - 1\right)}\right)}{x - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=1x_{2} = 1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−223−23−1,∞)\left[- 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,−223−23−1]\left(-\infty, - 2^{\frac{2}{3}} - \sqrt[3]{2} - 1\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
x2=1x_{2} = 1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x3+1x2−x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x3+1x2−x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x^3 + 1)/(x^2 - x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x3+1x(x2−x))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} - x\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞(x3+1x(x2−x))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{3} + 1}{x \left(x^{2} - x\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x3+1x2−x=1−x3x2+x\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + x}
- No
x3+1x2−x=−1−x3x2+x\frac{x^{3} + 1}{x^{2} - x} = - \frac{1 - x^{3}}{x^{2} + x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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