Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$6 \sinh{\left(\frac{x}{6} \right)} - 1 = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}\right)^{6} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ / 6\\
| |/ ____\ ||
/ 6\ / 6\ | ||1 \/ 37 | ||
|/ ____\ | |/ ____\ | |log||- + ------| ||
||1 \/ 37 | | ||1 \/ 37 | | | \\6 6 / /|
(log||- + ------| |, -1 - log||- + ------| | + 36*cosh|------------------|)
\\6 6 / / \\6 6 / / \ 6 /
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = \log{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}\right)^{6} \right)}$$
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
$$\left[\log{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}\right)^{6} \right)}, \infty\right)$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(\left(\frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}\right)^{6} \right)}\right]$$