Sr Examen

Gráfico de la función y = 2^sinx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

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Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
        sin(x)
f(x) = 2      
$$f{\left(x \right)} = 2^{\sin{\left(x \right)}}$$
f = 2^sin(x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$2^{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en 2^sin(x).
$$2^{\sin{\left(0 \right)}}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = 1$$
Punto:
(0, 1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$2^{\sin{\left(x \right)}} \log{\left(2 \right)} \cos{\left(x \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \frac{\pi}{2}$$
Signos de extremos en los puntos:
 -pi       
(----, 1/2)
  2        

 pi    
(--, 2)
 2     


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{2}$$
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
Decrece en los intervalos
$$\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$2^{\sin{\left(x \right)}} \left(- \sin{\left(x \right)} + \log{\left(2 \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(2 \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}$$

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right] \cup \left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left[2 \operatorname{atan}{\left(\frac{- \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}} + 1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}, 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}} + \sqrt{2} \sqrt{1 + \sqrt{1 + 4 \log{\left(2 \right)}^{2}}}}{2 \log{\left(2 \right)}} \right)}\right]$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} 2^{\sin{\left(x \right)}} = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}$$
$$\lim_{x \to \infty} 2^{\sin{\left(x \right)}} = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 2^{\left\langle -1, 1\right\rangle}$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 2^sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{2^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2^{\sin{\left(x \right)}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$2^{\sin{\left(x \right)}} = 2^{- \sin{\left(x \right)}}$$
- No
$$2^{\sin{\left(x \right)}} = - 2^{- \sin{\left(x \right)}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar