Sr Examen

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-exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)

Gráfico de la función y = -exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
          -x    7*x      3*x
f(x) = - e   - e    - 2*e   
$$f{\left(x \right)} = \left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}$$
f = -exp(7*x) - exp(-x) - 2*exp(3*x)
Gráfico de la función
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -exp(-x) - exp(7*x) - 2*exp(3*x).
$$\left(- e^{- 0} - e^{0 \cdot 7}\right) - 2 e^{0 \cdot 3}$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = -4$$
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- 7 e^{7 x} - 6 e^{3 x} + e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
    / 3/4\      4 ___ 
    |7   |  -64*\/ 7  
(log|----|, ---------)
    \ 7  /      49    


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- (49 e^{7 x} + 18 e^{3 x} + e^{- x}) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp(-x) - exp(7*x) - 2*exp(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} = - e^{x} - 2 e^{- 3 x} - e^{- 7 x}$$
- No
$$\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} = e^{x} + 2 e^{- 3 x} + e^{- 7 x}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)