Sr Examen

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-exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)
Trazado el gráfico de la función/ -exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)

Gráfico de la función y = -exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
          -x    7*x      3*x
f(x) = - e   - e    - 2*e
f(x)=(−e7x−e−x)−2e3xf{\left(x \right)} = \left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} 
f = -exp(7*x) - exp(-x) - 2*exp(3*x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5e303e30
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(−e7x−e−x)−2e3x=0\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en -exp(-x) - exp(7*x) - 2*exp(3*x).
(−e−0−e0⋅7)−2e0⋅3\left(- e^{- 0} - e^{0 \cdot 7}\right) - 2 e^{0 \cdot 3}
Resultado:
f(0)=−4f{\left(0 \right)} = -4
Punto:
(0, -4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−7e7x−6e3x+e−x=0- 7 e^{7 x} - 6 e^{3 x} + e^{- x} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=log⁡(7347)x_{1} = \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}
Signos de extremos en los puntos:
    / 3/4\      4 ___ 
    |7   |  -64*\/ 7  
(log|----|, ---------)
    \ 7  /      49


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=log⁡(7347)x_{1} = \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}
Decrece en los intervalos
(−∞,log⁡(7347)]\left(-\infty, \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}\right]
Crece en los intervalos
[log⁡(7347),∞)\left[\log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−(49e7x+18e3x+e−x)=0- (49 e^{7 x} + 18 e^{3 x} + e^{- x}) = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((−e7x−e−x)−2e3x)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((−e7x−e−x)−2e3x)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función -exp(-x) - exp(7*x) - 2*exp(3*x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((−e7x−e−x)−2e3xx)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((−e7x−e−x)−2e3xx)=−∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x}}{x}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(−e7x−e−x)−2e3x=−ex−2e−3x−e−7x\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} = - e^{x} - 2 e^{- 3 x} - e^{- 7 x}
- No
(−e7x−e−x)−2e3x=ex+2e−3x+e−7x\left(- e^{7 x} - e^{- x}\right) - 2 e^{3 x} = e^{x} + 2 e^{- 3 x} + e^{- 7 x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = -exp(-x)-exp(7*x)-2*exp(3*x)
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