Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada$$- 7 e^{7 x} - 6 e^{3 x} + e^{- x} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}$$
Signos de extremos en los puntos:
/ 3/4\ 4 ___
|7 | -64*\/ 7
(log|----|, ---------)
\ 7 / 49
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\log{\left(\frac{7^{\frac{3}{4}}}{7} \right)}, \infty\right)$$