Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- ((tres +x)/(cinco +x))^(cuatro +x)
- ((3 más x) dividir por (5 más x)) en el grado (4 más x)
- ((tres más x) dividir por (cinco más x)) en el grado (cuatro más x)
- ((3+x)/(5+x))(4+x)
- 3+x/5+x4+x
- 3+x/5+x^4+x
- ((3+x) dividir por (5+x))^(4+x)
-
Expresiones semejantes
- ((3+x)/(5-x))^(4+x)
- ((3-x)/(5+x))^(4+x)
- ((3+x)/(5+x))^(4-x)
Límite de la función ((3+x)/(5+x))^(4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
4 + x
/3 + x\
lim |-----|
x->oo\5 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
Limit(((3 + x)/(5 + x))^(4 + x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 2}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 5\right) - 2}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{2}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{x + 4}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 5}{-2}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{2}{x + 5}\right)^{x + 4}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u - 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\frac{\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}}{1 + \frac{1}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \frac{1}{1 + \frac{1}{u}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{-2} = e^{-2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = e^{-2}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = e^{-2}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{81}{625}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{81}{625}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{81}{625}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{81}{625}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = \frac{32}{243}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 3}{x + 5}\right)^{x + 4} = e^{-2}$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico