Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
-
Expresiones idénticas
- ((uno +x)/(dos +x))^(-x)
- ((1 más x) dividir por (2 más x)) en el grado ( menos x)
- ((uno más x) dividir por (dos más x)) en el grado ( menos x)
- ((1+x)/(2+x))(-x)
- 1+x/2+x-x
- 1+x/2+x^-x
- ((1+x) dividir por (2+x))^(-x)
-
Expresiones semejantes
- ((1-x)/(2+x))^(-x)
- ((1+x)/(2+x))^(x)
- ((1+x)/(2-x))^(-x)
Límite de la función ((1+x)/(2+x))^(-x)
Solución
Ha introducido
[src]
-x
/1 + x\
lim |-----|
x->oo\2 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
Limit(((1 + x)/(2 + x))^(-x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = e$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x + 2\right) - 1}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x + 2} + \frac{x + 2}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{- x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x + 2}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x + 2}\right)^{- x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u + 2}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{2} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right) = e$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = e$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = e$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = e$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = \frac{3}{2}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x + 1}{x + 2}\right)^{- x} = e$$
Más detalles con x→-oo