Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
- Límite de (x^m-a^m)/(x^n-a^n)
-
Límite de (3+x^2+x^3-5*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de ((2+x)/(-3+x))^(5*x)
-
Expresiones idénticas
- ((dos +x)/(- tres +x))^(dos *x)
- ((2 más x) dividir por ( menos 3 más x)) en el grado (2 multiplicar por x)
- ((dos más x) dividir por ( menos tres más x)) en el grado (dos multiplicar por x)
- ((2+x)/(-3+x))(2*x)
- 2+x/-3+x2*x
- ((2+x)/(-3+x))^(2x)
- ((2+x)/(-3+x))(2x)
- 2+x/-3+x2x
- 2+x/-3+x^2x
- ((2+x) dividir por (-3+x))^(2*x)
-
Expresiones semejantes
- ((2+x)/(3+x))^(2*x)
- ((2+x)/(-3-x))^(2*x)
- ((2-x)/(-3+x))^(2*x)
Límite de la función ((2+x)/(-3+x))^(2*x)
Solución
Ha introducido
[src]
2*x
/2 + x \
lim |------|
x->oo\-3 + x/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x}$$
Limit(((2 + x)/(-3 + x))^(2*x), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 5}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{5}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u + 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x} = e^{10}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x - 3\right) + 5}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x - 3}{x - 3} + \frac{5}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{2 x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x - 3}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x - 3}\right)^{2 x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u + 6}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{6} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{10 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{10} = e^{10}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x + 2}{x - 3}\right)^{2 x} = e^{10}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
Gráfico