Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(4 x^{2} - 7 x + 3\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(3 x^{2} - 2 x - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{2} + \left(3 - 7 x\right)}{3 x^{2} + \left(- 2 x - 1\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{4 x^{2} - 7 x + 3}{3 x^{2} - 2 x - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(4 x^{2} - 7 x + 3\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 x^{2} - 2 x - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x - 7}{6 x - 2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{8 x - 7}{6 x - 2}\right)$$
=
$$\frac{1}{4}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)