Sr Examen
Otras calculadoras:
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¿Cómo usar?
- Límite de la función:
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Límite de (-2+x)^(-2)
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Límite de (1+9/x)^(x/3)
- Límite de (x-a)/(x^n-a^n)
- Límite de ((a+x)/(x-a))^x
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Expresiones idénticas
- ((a+x)/(x-a))^x
- ((a más x) dividir por (x menos a)) en el grado x
- ((a+x)/(x-a))x
- a+x/x-ax
- a+x/x-a^x
- ((a+x) dividir por (x-a))^x
-
Expresiones semejantes
- ((a-x)/(x-a))^x
- ((a+x)/(x+a))^x
Límite de la función ((a+x)/(x-a))^x
Solución
Ha introducido
[src]
x
/a + x\
lim |-----|
x->oo\x - a/
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
Limit(((a + x)/(x - a))^x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a + \left(- a + x\right)}{- a + x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a}{- a + x} + \frac{- a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a}{- a + x} + 1\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{- a + x}{2 a}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a}{- a + x} + 1\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(\frac{2 a}{a \left(2 u + 1\right) - a} + 1\right)^{a \left(2 u + 1\right)}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a \left(2 u + 1\right) - a}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a \left(2 u + 1\right) - a}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}} = e^{\frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = e^{2 a}$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a + \left(- a + x\right)}{- a + x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a}{- a + x} + \frac{- a + x}{- a + x}\right)^{x}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a}{- a + x} + 1\right)^{x}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{- a + x}{2 a}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{2 a}{- a + x} + 1\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(\frac{2 a}{a \left(2 u + 1\right) - a} + 1\right)^{a \left(2 u + 1\right)}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a \left(2 u + 1\right) - a}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{a \left(2 u + 1\right) - a}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}} = e^{\frac{a \left(2 u + 1\right) - a}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = e^{2 a}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = e^{2 a}$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = - \frac{a + 1}{a - 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = - \frac{a + 1}{a - 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = e^{2 a}$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = 1$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = - \frac{a + 1}{a - 1}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = - \frac{a + 1}{a - 1}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{a + x}{- a + x}\right)^{x} = e^{2 a}$$
Más detalles con x→-oo