Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 4 x + e^{2 x} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(- 4 x + \left(e^{2 x} - 1\right)\right) + \log{\left(2 x + 1 \right)}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- 4 x + e^{2 x} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 4 x + e^{2 x} + \log{\left(2 x + 1 \right)} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 e^{2 x} - 4 + \frac{2}{2 x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 e^{2 x} - 4 + \frac{2}{2 x + 1}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)