Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{x}$$
cambiamos
hacemos el cambio
$$u = \frac{x}{5}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{x}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{5 u}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{5} = e^{5}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{x} = e^{5}$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
A la izquierda y a la derecha
[src]
x
/ 5\
lim |1 + -|
x->0+\ x/
$$\lim_{x \to 0^+} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{x}$$
$$1$$
x
/ 5\
lim |1 + -|
x->0-\ x/
$$\lim_{x \to 0^-} \left(1 + \frac{5}{x}\right)^{x}$$
$$1$$
= (0.997721625869732 - 0.000728945396933843j)
= (0.997721625869732 - 0.000728945396933843j)