Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- 5 x - 1\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(5 e^{5 x}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(- x - \frac{1}{5}\right) e^{- 5 x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 5 x - 1\right) e^{- 5 x}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 5 x - 1\right)}{\frac{d}{d x} 5 e^{5 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{e^{- 5 x}}{5}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)