Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (-cos(x)+cos(3*x))/(-1+cos(x))
-
Límite de -1/2+9*x
-
Límite de (-2-5*x^2+11*x)/(-10-x+3*x^2)
-
Límite de (1-4/x)^x
-
Expresiones idénticas
- (x^ cuatro /(uno +x^ cuatro))^(uno + dos *x^ cinco)
- (x en el grado 4 dividir por (1 más x en el grado 4)) en el grado (1 más 2 multiplicar por x en el grado 5)
- (x en el grado cuatro dividir por (uno más x en el grado cuatro)) en el grado (uno más dos multiplicar por x en el grado cinco)
- (x4/(1+x4))(1+2*x5)
- x4/1+x41+2*x5
- (x⁴/(1+x⁴))^(1+2*x⁵)
- (x^4/(1+x^4))^(1+2x^5)
- (x4/(1+x4))(1+2x5)
- x4/1+x41+2x5
- x^4/1+x^4^1+2x^5
- (x^4 dividir por (1+x^4))^(1+2*x^5)
-
Expresiones semejantes
- (x^4/(1-x^4))^(1+2*x^5)
- (x^4/(1+x^4))^(1-2*x^5)
Límite de la función (x^4/(1+x^4))^(1+2*x^5)
Solución
Ha introducido
[src]
5
1 + 2*x
/ 4 \
| x |
lim |------|
x->oo| 4|
\1 + x /
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
Limit((x^4/(1 + x^4))^(1 + 2*x^5), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{4} + 1\right) - 1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x^{4} + 1} + \frac{x^{4} + 1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{4} + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 + 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 + 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}} = e^{\frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
cambiamos
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\left(x^{4} + 1\right) - 1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(- \frac{1}{x^{4} + 1} + \frac{x^{4} + 1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$
=
hacemos el cambio
$$u = \frac{x^{4} + 1}{-1}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty} \left(1 - \frac{1}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1}$$ =
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} + 1}$$
=
$$\lim_{u \to \infty}\left(\left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u \frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 + 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}\right)$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{1 + 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}} \lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}$$
=
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}$$
=
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}}$$
El límite
$$\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}$$
hay el segundo límite, es igual a e ~ 2.718281828459045
entonces
$$\left(\left(\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^{u}\right)\right)^{\frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}} = e^{\frac{- 2 i \left(- u - 1\right)^{\frac{5}{4}} - 2 \left(-1\right)^{\frac{3}{4}}}{u}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = \infty$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = \frac{1}{8}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty} \left(\frac{x^{4}}{x^{4} + 1}\right)^{2 x^{5} + 1} = \infty$$
Más detalles con x→-oo