Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} x = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(x + 6\right)^{x} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(x \left(x + 6\right)^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} x}{\frac{d}{d x} \left(x + 6\right)^{x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 6\right)^{- x}}{\frac{x}{x + 6} + \log{\left(x + 6 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 6\right)^{- x}}{\frac{x}{x + 6} + \log{\left(x + 6 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)