Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-3+sqrt(5+x))/(-4+x)
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- nueve *x^ dos /(cuatro + tres *x)^ dos
- 9 multiplicar por x al cuadrado dividir por (4 más 3 multiplicar por x) al cuadrado
- nueve multiplicar por x en el grado dos dividir por (cuatro más tres multiplicar por x) en el grado dos
- 9*x2/(4+3*x)2
- 9*x2/4+3*x2
- 9*x²/(4+3*x)²
- 9*x en el grado 2/(4+3*x) en el grado 2
- 9x^2/(4+3x)^2
- 9x2/(4+3x)2
- 9x2/4+3x2
- 9x^2/4+3x^2
- 9*x^2 dividir por (4+3*x)^2
-
Expresiones semejantes
- 9*x^2/(4-3*x)^2
Límite de la función 9*x^2/(4+3*x)^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
| 9*x |
lim |----------|
x->oo| 2|
\(4 + 3*x) /
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
Limit((9*x^2)/(4 + 3*x)^2, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9}{16 u^{2} + 24 u + 9}\right)$$
=
$$\frac{9}{16 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 24 + 9} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
Dividimos el numerador y el denominador por x^2:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$ =
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}\right)$$
Hacemos El Cambio
$$u = \frac{1}{x}$$
entonces
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9}{9 + \frac{24}{x} + \frac{16}{x^{2}}}\right) = \lim_{u \to 0^+}\left(\frac{9}{16 u^{2} + 24 u + 9}\right)$$
=
$$\frac{9}{16 \cdot 0^{2} + 0 \cdot 24 + 9} = 1$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 1$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 4\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x}{18 x + 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 18 x}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 24\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(9 x^{2}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty} \left(3 x + 4\right)^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 9 x^{2}}{\frac{d}{d x} \left(3 x + 4\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{18 x}{18 x + 24}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} 18 x}{\frac{d}{d x} \left(18 x + 24\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = \frac{9}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = \frac{9}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = \frac{9}{49}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = \frac{9}{49}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{9 x^{2}}{\left(3 x + 4\right)^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→-oo