Tenemos la indeterminación de tipo
-oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x\right) = -\infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{e^{x} x}{e^{x} + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{x}{e^{x} + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- x\right)}{\frac{d}{d x} \left(e^{x} + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{- x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(- e^{- x}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)