Sr Examen

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Límite de la función/ 9*x^2/ sqrt(-5*x+9*x^2)-3*x

Límite de la función sqrt(-5*x+9*x^2)-3*x

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   _____________      \
     |  /           2       |
 lim \\/  -5*x + 9*x   - 3*x/
x->oo
lim⁡x→∞(−3x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) 
Limit(sqrt(-5*x + 9*x^2) - 3*x, x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→∞(−3x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right)
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
3x+9x2−5x3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}
entonces
lim⁡x→∞(−3x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right)
=
lim⁡x→∞((−3x+9x2−5x)(3x+9x2−5x)3x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) \left(3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right)}{3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}}\right)
=
lim⁡x→∞(−(3x)2+(9x2−5x)23x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(3 x\right)^{2} + \left(\sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right)^{2}}{3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}}\right)
=
lim⁡x→∞(−5x3x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5 x}{3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}}\right)
=
lim⁡x→∞(−5x3x+9x2−5x)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5 x}{3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}}\right)

Dividimos el numerador y el denominador por x:
lim⁡x→∞(−53+9x2−5xx)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{3 + \frac{\sqrt{9 x^{2} - 5 x}}{x}}\right) =
lim⁡x→∞(−59x2−5xx2+3)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{\frac{9 x^{2} - 5 x}{x^{2}}} + 3}\right) =
lim⁡x→∞(−59−5x+3)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{9 - \frac{5}{x}} + 3}\right)
Sustituimos
u=1xu = \frac{1}{x}
entonces
lim⁡x→∞(−59−5x+3)\lim_{x \to \infty}\left(- \frac{5}{\sqrt{9 - \frac{5}{x}} + 3}\right) =
lim⁡u→0+(−59−5u+3)\lim_{u \to 0^+}\left(- \frac{5}{\sqrt{9 - 5 u} + 3}\right) =
= −53+9−0=−56- \frac{5}{3 + \sqrt{9 - 0}} = - \frac{5}{6}

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→∞(−3x+9x2−5x)=−56\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = - \frac{5}{6}
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50100
Trazar el gráfico
Respuesta rápida [src] 
-5/6
−56- \frac{5}{6}
Abrir y simplificar
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(−3x+9x2−5x)=−56\lim_{x \to \infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = - \frac{5}{6}
lim⁡x→0−(−3x+9x2−5x)=0\lim_{x \to 0^-}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−3x+9x2−5x)=0\lim_{x \to 0^+}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−3x+9x2−5x)=−1\lim_{x \to 1^-}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = -1
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−3x+9x2−5x)=−1\lim_{x \to 1^+}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = -1
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−3x+9x2−5x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(- 3 x + \sqrt{9 x^{2} - 5 x}\right) = \infty
Más detalles con x→-oo
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