Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1} + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1} + 2\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x}}{4 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 1}}{4 \left(- x \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x}}{4 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 1}}{4 \left(- x \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)