Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de ((1+x)^3+(2+x)^3)/((4+x)^3+(5+x)^3)
-
Límite de (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))^2/x^2
-
Límite de (-log(1+x)+log(-1+x^2))/(-1+(-1+x)^(1/3))
-
Límite de -1+cos(x)
-
Expresiones idénticas
- (sqrt(uno -x)-sqrt(uno +x))^ dos /x^ dos
- ( raíz cuadrada de (1 menos x) menos raíz cuadrada de (1 más x)) al cuadrado dividir por x al cuadrado
- ( raíz cuadrada de (uno menos x) menos raíz cuadrada de (uno más x)) en el grado dos dividir por x en el grado dos
- (√(1-x)-√(1+x))^2/x^2
- (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))2/x2
- sqrt1-x-sqrt1+x2/x2
- (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))²/x²
- (sqrt(1-x)-sqrt(1+x)) en el grado 2/x en el grado 2
- sqrt1-x-sqrt1+x^2/x^2
- (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))^2 dividir por x^2
-
Expresiones semejantes
- (sqrt(1+x)-sqrt(1+x))^2/x^2
- (sqrt(1-x)-sqrt(1-x))^2/x^2
- (sqrt(1-x)+sqrt(1+x))^2/x^2
-
Expresiones con funciones
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-3*x+4*x^2)/(1+x)
- sqrt(-2*x+9*x^2)-3*sqrt(x^2)
- sqrt(4+n)/sqrt(3+n)
- sqrt(log(1+x^2*sin(1/x)))/x
- sqrt(x)/(x^(3/2)-(-1+x)^(3/2))
- Raíz cuadrada sqrt
- sqrt(-3*x+4*x^2)/(1+x)
- sqrt(-2*x+9*x^2)-3*sqrt(x^2)
- sqrt(4+n)/sqrt(3+n)
- sqrt(log(1+x^2*sin(1/x)))/x
- sqrt(x)/(x^(3/2)-(-1+x)^(3/2))
Límite de la función (sqrt(1-x)-sqrt(1+x))^2/x^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2\
|/ _______ _______\ |
|\\/ 1 - x - \/ 1 + x / |
lim |------------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
Limit((sqrt(1 - x) - sqrt(1 + x))^2/x^2, x, 0)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1} + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1} + 2\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x}}{4 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 1}}{4 \left(- x \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x}}{4 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 1}}{4 \left(- x \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(- 2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1} + 2\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+} x^{2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- 2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1} + 2\right)}{\frac{d}{d x} x^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{\sqrt{1 - x}}\right)}{\frac{d}{d x} 2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x}}{4 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 1}}{4 \left(- x \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\sqrt{1 - x}}{4 \left(x \sqrt{x + 1} + \sqrt{x + 1}\right)} + \frac{\sqrt{x + 1}}{4 \left(- x \sqrt{1 - x} + \sqrt{1 - x}\right)} + \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} \sqrt{x + 1}}\right)$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 2 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2\
|/ _______ _______\ |
|\\/ 1 - x - \/ 1 + x / |
lim |------------------------|
x->0+| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
/ 2\
|/ _______ _______\ |
|\\/ 1 - x - \/ 1 + x / |
lim |------------------------|
x->0-| 2 |
\ x /
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right)$$
1
$$1$$
= 1.0
= 1.0
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 1$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 2$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{1 - x} - \sqrt{x + 1}\right)^{2}}{x^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con x→-oo
Gráfico