Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 1\right)^{3} + \left(x + 2\right)^{3}\right) = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + 4\right)^{3} + \left(x + 5\right)^{3}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + 1\right)^{3} + \left(x + 2\right)^{3}}{\left(x + 4\right)^{3} + \left(x + 5\right)^{3}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\left(x + 1\right)^{3} + \left(x + 2\right)^{3}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\left(x + 4\right)^{3} + \left(x + 5\right)^{3}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{3 \left(x + 1\right)^{2} + 3 \left(x + 2\right)^{2}}{3 \left(x + 4\right)^{2} + 3 \left(x + 5\right)^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(3 \left(x + 1\right)^{2} + 3 \left(x + 2\right)^{2}\right)}{\frac{d}{d x} \left(3 \left(x + 4\right)^{2} + 3 \left(x + 5\right)^{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{12 x + 18}{12 x + 54}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(12 x + 18\right)}{\frac{d}{d x} \left(12 x + 54\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$\lim_{x \to \infty} 1$$
=
$$1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)