Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\sqrt[3]{x - 1} - 1\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}}{\sqrt[3]{x - 1} - 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(- \log{\left(x + 1 \right)} + \log{\left(x^{2} - 1 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\sqrt[3]{x - 1} - 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(3 \left(x - 1\right)^{\frac{2}{3}} \left(\frac{2 x}{x^{2} - 1} - \frac{1}{x + 1}\right)\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 x}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{6 x}{x^{2} - 1} - \frac{3}{x + 1}\right)$$
=
$$3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)