Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 1^+} \log{\left(3 x - 2 \right)} = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 1^+}\left(x^{2} - 5 x + 4\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{- 5 x + \left(x^{2} + 4\right)}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\log{\left(3 x - 2 \right)}}{x^{2} - 5 x + 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \log{\left(3 x - 2 \right)}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 5 x + 4\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3}{\left(2 x - 5\right) \left(3 x - 2\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3}{2 x - 5}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{3}{2 x - 5}\right)$$
=
$$-1$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)