Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to -2^+} \sqrt{x + 2} = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\sqrt{x + 2} \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\sqrt{x + 2} \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \frac{\log{\left(x + 3 \right)}}{\log{\left(2 \right)}}}{\frac{d}{d x} \sqrt{x + 2}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \sqrt{x + 2}}{\left(x + 3\right) \log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \sqrt{x + 2}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{2 \sqrt{x + 2}}{\log{\left(2 \right)}}\right)$$
=
$$0$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)