Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x^{\frac{3}{2}} - \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x}}{x^{\frac{3}{2}} - \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{x}}{\frac{d}{d x} \left(x^{\frac{3}{2}} - \left(x - 1\right)^{\frac{3}{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{3 \sqrt{x - 1}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(\frac{3 \sqrt{x}}{2} - \frac{3 \sqrt{x - 1}}{2}\right)}\right)$$
=
$$\frac{2}{3}$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)