Tenemos la indeterminación de tipo
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to \infty} \sqrt{4 x^{2} - 3 x} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to \infty}\left(x + 1\right) = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{4 x^{2} - 3 x}}{x + 1}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\sqrt{x \left(4 x - 3\right)}}{x + 1}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d x} \sqrt{4 x^{2} - 3 x}}{\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - \frac{3}{2}}{\sqrt{4 x^{2} - 3 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{4 x - \frac{3}{2}}{\sqrt{4 x^{2} - 3 x}}\right)$$
=
$$2$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)