Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (8+x)/x^2
-
Límite de (7-x+4*x^2)/(1+3*x)
-
Límite de (3-10*x+3*x^2)/(-3+x^2-2*x)
-
Límite de (3+3*x^2+10*x)/(-3+2*x^2+5*x)
- Suma de la serie:
-
3^n/n^2
-
Expresiones idénticas
- tres ^n/n^ dos
- 3 en el grado n dividir por n al cuadrado
- tres en el grado n dividir por n en el grado dos
- 3n/n2
- 3^n/n²
- 3 en el grado n/n en el grado 2
- 3^n dividir por n^2
Límite de la función 3^n/n^2
Solución
Ha introducido
[src]
/ n\
|3 |
lim |--|
n->oo| 2|
\n /
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
Limit(3^n/n^2, n, oo, dir='-')
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 3^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n}}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}}{2}}{\frac{d}{d n} n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{\frac{d}{d n} 2 \cdot 3^{- n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 0$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 0$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
oo/oo,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{n \to \infty} 3^{n} = \infty$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{n \to \infty} n^{2} = \infty$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} 3^{n}}{\frac{d}{d n} n^{2}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}}{2 n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}}{2}}{\frac{d}{d n} n}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{2}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{\frac{d}{d n} \log{\left(3 \right)}^{2}}{\frac{d}{d n} 2 \cdot 3^{- n}}\right)$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 0$$
=
$$\lim_{n \to \infty} 0$$
=
$$\infty$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 3 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con n→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{n \to \infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
$$\lim_{n \to 0^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la izquierda
$$\lim_{n \to 0^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = \infty$$
Más detalles con n→0 a la derecha
$$\lim_{n \to 1^-}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→1 a la izquierda
$$\lim_{n \to 1^+}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 3$$
Más detalles con n→1 a la derecha
$$\lim_{n \to -\infty}\left(\frac{3^{n}}{n^{2}}\right) = 0$$
Más detalles con n→-oo
Gráfico