Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (2+x^2+x^4-x^3-3*x)/(1+x^3-x-x^2)
-
Límite de (sqrt(3+x)-2*sqrt(1+x))/(-9+x^2)
-
Límite de (e^(5*x)-e^x)/(x^3+asin(x))
-
Límite de (4-x^4)/(4+x^4+8*x)
-
Expresiones idénticas
- (- dos + ocho *x)*log((- cuarenta y seis + nueve *x)/(- cuarenta y dos + ocho *x))/(- cuatro +x)
- ( menos 2 más 8 multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de (( menos 46 más 9 multiplicar por x) dividir por ( menos 42 más 8 multiplicar por x)) dividir por ( menos 4 más x)
- ( menos dos más ocho multiplicar por x) multiplicar por logaritmo de (( menos cuarenta y seis más nueve multiplicar por x) dividir por ( menos cuarenta y dos más ocho multiplicar por x)) dividir por ( menos cuatro más x)
- (-2+8x)log((-46+9x)/(-42+8x))/(-4+x)
- -2+8xlog-46+9x/-42+8x/-4+x
- (-2+8*x)*log((-46+9*x) dividir por (-42+8*x)) dividir por (-4+x)
-
Expresiones semejantes
- (-2+8*x)*log((46+9*x)/(-42+8*x))/(-4+x)
- (2+8*x)*log((-46+9*x)/(-42+8*x))/(-4+x)
- (-2+8*x)*log((-46+9*x)/(42+8*x))/(-4+x)
- (-2+8*x)*log((-46-9*x)/(-42+8*x))/(-4+x)
- (-2+8*x)*log((-46+9*x)/(-42+8*x))/(4+x)
- (-2-8*x)*log((-46+9*x)/(-42+8*x))/(-4+x)
- (-2+8*x)*log((-46+9*x)/(-42+8*x))/(-4-x)
- (-2+8*x)*log((-46+9*x)/(-42-8*x))/(-4+x)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(x)/(1-log(x))
- log(sin(8*x))/log(sin(6*x))
- log(1+n)^3*(1+n)/(n*Abs(log(n)^3))
- log(n)^log(n)*log(1+n)^(-log(1+n))
- log(cot(92*x))*sin(59*x)
Límite de la función (-2+8*x)*log((-46+9*x)/(-42+8*x))/(-4+x)
Solución
Ha introducido
[src]
/ /-46 + 9*x\\
|(-2 + 8*x)*log|---------||
| \-42 + 8*x/|
lim |-------------------------|
x->4+\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right)$$
Limit(((-2 + 8*x)*log((-46 + 9*x)/(-42 + 8*x)))/(-4 + x), x, 4)
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\log{\left(\frac{9 x}{4 x - 21} - \frac{46}{4 x - 21} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x}{2 \left(4 x - 1\right)} - \frac{2}{4 x - 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 \left(4 x - 1\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{2 \left(4 x - 21\right)} \right)}}{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(\frac{9 x}{4 x - 21} - \frac{46}{4 x - 21} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2 \left(4 x - 1\right)} - \frac{2}{4 x - 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- \frac{36 x}{\left(4 x - 21\right)^{2}} + \frac{9}{4 x - 21} + \frac{184}{\left(4 x - 21\right)^{2}}}{\left(\frac{9 x}{4 x - 21} - \frac{46}{4 x - 21}\right) \left(- \frac{2 x}{\left(4 x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(4 x - 1\right)} + \frac{8}{\left(4 x - 1\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{8}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{1}{2 \left(4 x - 1\right)}\right) \left(\frac{180 x}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{920}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{45}{- \frac{72 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{746 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{18 x}{4 x - 21} - \frac{1932}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{189}{2 \left(4 x - 21\right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{8}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{1}{2 \left(4 x - 1\right)}\right) \left(\frac{180 x}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{920}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{45}{- \frac{72 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{746 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{18 x}{4 x - 21} - \frac{1932}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{189}{2 \left(4 x - 21\right)}}\right)}\right)$$
=
$$-3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\log{\left(\frac{9 x}{4 x - 21} - \frac{46}{4 x - 21} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{x}{2 \left(4 x - 1\right)} - \frac{2}{4 x - 1}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 \left(4 x - 1\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{2 \left(4 x - 21\right)} \right)}}{x - 4}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(\log{\left(\frac{9 x}{4 x - 21} - \frac{46}{4 x - 21} \right)} - \log{\left(2 \right)}\right)}{\frac{d}{d x} \left(\frac{x}{2 \left(4 x - 1\right)} - \frac{2}{4 x - 1}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{- \frac{36 x}{\left(4 x - 21\right)^{2}} + \frac{9}{4 x - 21} + \frac{184}{\left(4 x - 21\right)^{2}}}{\left(\frac{9 x}{4 x - 21} - \frac{46}{4 x - 21}\right) \left(- \frac{2 x}{\left(4 x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{2 \left(4 x - 1\right)} + \frac{8}{\left(4 x - 1\right)^{2}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{8}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{1}{2 \left(4 x - 1\right)}\right) \left(\frac{180 x}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{920}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{45}{- \frac{72 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{746 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{18 x}{4 x - 21} - \frac{1932}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{189}{2 \left(4 x - 21\right)}}\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{1}{\left(- \frac{2 x}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{8}{16 x^{2} - 8 x + 1} + \frac{1}{2 \left(4 x - 1\right)}\right) \left(\frac{180 x}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{920}{- \frac{288 x^{3}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{4496 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{72 x^{2}}{4 x - 21} - \frac{23394 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{756 x}{4 x - 21} + \frac{40572}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{3969}{2 \left(4 x - 21\right)}} - \frac{45}{- \frac{72 x^{2}}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{746 x}{16 x^{2} - 168 x + 441} + \frac{18 x}{4 x - 21} - \frac{1932}{16 x^{2} - 168 x + 441} - \frac{189}{2 \left(4 x - 21\right)}}\right)}\right)$$
=
$$-3$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ /-46 + 9*x\\
|(-2 + 8*x)*log|---------||
| \-42 + 8*x/|
lim |-------------------------|
x->4+\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right)$$
-3
$$-3$$
= -3
/ /-46 + 9*x\\
|(-2 + 8*x)*log|---------||
| \-42 + 8*x/|
lim |-------------------------|
x->4-\ -4 + x /
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right)$$
-3
$$-3$$
= -3
= -3
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = -3$$
Más detalles con x→4 a la izquierda
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = 8 \log{\left(\frac{9}{8} \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - \frac{\log{\left(21 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(23 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - \frac{\log{\left(21 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(23 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - 2 \log{\left(37 \right)} + 2 \log{\left(34 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - 2 \log{\left(37 \right)} + 2 \log{\left(34 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = 8 \log{\left(\frac{9}{8} \right)}$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→4 a la izquierda
$$\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = -3$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = 8 \log{\left(\frac{9}{8} \right)}$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - \frac{\log{\left(21 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(23 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - \frac{\log{\left(21 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(23 \right)}}{2}$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - 2 \log{\left(37 \right)} + 2 \log{\left(34 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = - 2 \log{\left(37 \right)} + 2 \log{\left(34 \right)}$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(8 x - 2\right) \log{\left(\frac{9 x - 46}{8 x - 42} \right)}}{x - 4}\right) = 8 \log{\left(\frac{9}{8} \right)}$$
Más detalles con x→-oo