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Límite de la función/ sqrt(x+4*x^2)-sqrt(-x+4*x^2)

Límite de la función sqrt(x+4*x^2)-sqrt(-x+4*x^2)

cuando →
v

Para puntos concretos:

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
     /   __________      ___________\
     |  /        2      /         2 |
 lim \\/  x + 4*x   - \/  -x + 4*x  /
x->oo
lim⁡x→∞(−4x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) 
Limit(sqrt(x + 4*x^2) - sqrt(-x + 4*x^2), x, oo, dir='-')
Solución detallada
Tomamos como el límite
lim⁡x→∞(−4x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right)
Eliminamos la indeterminación oo - oo
Multiplicamos y dividimos por
4x2−x+4x2+x\sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}
entonces
lim⁡x→∞(−4x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right)
=
lim⁡x→∞((−4x2−x+4x2+x)(4x2−x+4x2+x)4x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) \left(\sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right)}{\sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}}\right)
=
lim⁡x→∞(−(4x2−x)2+(4x2+x)24x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- \left(\sqrt{4 x^{2} - x}\right)^{2} + \left(\sqrt{4 x^{2} + x}\right)^{2}}{\sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}}\right)
=
lim⁡x→∞((−4x2+x)+(4x2+x)4x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 4 x^{2} + x\right) + \left(4 x^{2} + x\right)}{\sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}}\right)
=
lim⁡x→∞(2x4x2−x+4x2+x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2 x}{\sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}}\right)

Dividimos el numerador y el denominador por x:
lim⁡x→∞(24x2−xx+4x2+xx)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\frac{\sqrt{4 x^{2} - x}}{x} + \frac{\sqrt{4 x^{2} + x}}{x}}\right) =
lim⁡x→∞(24x2−xx2+4x2+xx2)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{\frac{4 x^{2} - x}{x^{2}}} + \sqrt{\frac{4 x^{2} + x}{x^{2}}}}\right) =
lim⁡x→∞(24−1x+4+1x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{4 - \frac{1}{x}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}\right)
Sustituimos
u=1xu = \frac{1}{x}
entonces
lim⁡x→∞(24−1x+4+1x)\lim_{x \to \infty}\left(\frac{2}{\sqrt{4 - \frac{1}{x}} + \sqrt{4 + \frac{1}{x}}}\right) =
lim⁡u→0+(24−u+u+4)\lim_{u \to 0^+}\left(\frac{2}{\sqrt{4 - u} + \sqrt{u + 4}}\right) =
= 24+4−0=12\frac{2}{\sqrt{4} + \sqrt{4 - 0}} = \frac{1}{2}

Entonces la respuesta definitiva es:
lim⁡x→∞(−4x2−x+4x2+x)=12\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}
Método de l'Hopital
En el caso de esta función, no tiene sentido aplicar el Método de l'Hopital, ya que no existe la indeterminación tipo 0/0 or oo/oo
Gráfica
02468-8-6-4-2-10101-1
Trazar el gráfico
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
lim⁡x→∞(−4x2−x+4x2+x)=12\lim_{x \to \infty}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = \frac{1}{2}
lim⁡x→0−(−4x2−x+4x2+x)=0\lim_{x \to 0^-}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la izquierda
lim⁡x→0+(−4x2−x+4x2+x)=0\lim_{x \to 0^+}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = 0
Más detalles con x→0 a la derecha
lim⁡x→1−(−4x2−x+4x2+x)=−3+5\lim_{x \to 1^-}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = - \sqrt{3} + \sqrt{5}
Más detalles con x→1 a la izquierda
lim⁡x→1+(−4x2−x+4x2+x)=−3+5\lim_{x \to 1^+}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = - \sqrt{3} + \sqrt{5}
Más detalles con x→1 a la derecha
lim⁡x→−∞(−4x2−x+4x2+x)=−12\lim_{x \to -\infty}\left(- \sqrt{4 x^{2} - x} + \sqrt{4 x^{2} + x}\right) = - \frac{1}{2}
Más detalles con x→-oo
Respuesta rápida [src] 
1/2
12\frac{1}{2}
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