Tenemos la indeterminación de tipo
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(e^{9 x} - 1\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 0^+}\left(x e^{2 x}\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{e^{7 x} - e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(e^{9 x} - 1\right) e^{- 2 x}}{x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(e^{9 x} - 1\right)}{\frac{d}{d x} x e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9 e^{9 x}}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{9}{2 x e^{2 x} + e^{2 x}}\right)$$
=
$$9$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)