Sr Examen
Otras calculadoras:
-
¿Cómo usar?
- Límite de la función:
-
Límite de (1-cos(5*x))/x^2
-
Límite de -6+8*x/3
-
Límite de (-3+sqrt(5+x))/(-4+x)
-
Límite de ((1+x)/(-1+x))^x
-
Expresiones idénticas
- (tres +x)^ dos *(- tres +x)/(- nueve +x^ dos)
- (3 más x) al cuadrado multiplicar por ( menos 3 más x) dividir por ( menos 9 más x al cuadrado )
- (tres más x) en el grado dos multiplicar por ( menos tres más x) dividir por ( menos nueve más x en el grado dos)
- (3+x)2*(-3+x)/(-9+x2)
- 3+x2*-3+x/-9+x2
- (3+x)²*(-3+x)/(-9+x²)
- (3+x) en el grado 2*(-3+x)/(-9+x en el grado 2)
- (3+x)^2(-3+x)/(-9+x^2)
- (3+x)2(-3+x)/(-9+x2)
- 3+x2-3+x/-9+x2
- 3+x^2-3+x/-9+x^2
- (3+x)^2*(-3+x) dividir por (-9+x^2)
-
Expresiones semejantes
- (3+x)^2*(-3+x)/(9+x^2)
- (3+x)^2*(-3+x)/(-9-x^2)
- (3+x)^2*(-3-x)/(-9+x^2)
- (3+x)^2*(3+x)/(-9+x^2)
- (3-x)^2*(-3+x)/(-9+x^2)
Límite de la función (3+x)^2*(-3+x)/(-9+x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
/ 2 \
|(3 + x) *(-3 + x)|
lim |-----------------|
x->3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
Limit(((3 + x)^2*(-3 + x))/(-9 + x^2), x, 3)
Solución detallada
Tomamos como el límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x + 3\right) = $$
$$3 + 3 = $$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
cambiamos
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x + 3\right) = $$
$$3 + 3 = $$
= 6
Entonces la respuesta definitiva es:
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 6$$
Método de l'Hopital
Tenemos la indeterminación de tipo
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x + 6\right) + \left(x + 3\right)^{2}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{3}{2}\right)$$
=
$$6$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
0/0,
tal que el límite para el numerador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}\right) = 0$$
y el límite para el denominador es
$$\lim_{x \to 3^+}\left(x^{2} - 9\right) = 0$$
Vamos a probar las derivadas del numerador y denominador hasta eliminar la indeterminación.
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
Introducimos una pequeña modificación de la función bajo el signo del límite
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\frac{d}{d x} \left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 9\right)}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(2 x + 6\right) + \left(x + 3\right)^{2}}{2 x}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{3}{2}\right)$$
=
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{x^{2}}{2} + x - \frac{3}{2}\right)$$
=
$$6$$
Como puedes ver, hemos aplicado el método de l'Hopital (utilizando la derivada del numerador y denominador) 1 vez (veces)
Gráfica
Otros límites con x→0, -oo, +oo, 1
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 6$$
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
Más detalles con x→3 a la izquierda
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 6$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = \infty$$
Más detalles con x→oo
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la izquierda
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 3$$
Más detalles con x→0 a la derecha
$$\lim_{x \to 1^-}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la izquierda
$$\lim_{x \to 1^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = 4$$
Más detalles con x→1 a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right) = -\infty$$
Más detalles con x→-oo
A la izquierda y a la derecha
[src]
/ 2 \
|(3 + x) *(-3 + x)|
lim |-----------------|
x->3+| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^+}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
6
$$6$$
= 6
/ 2 \
|(3 + x) *(-3 + x)|
lim |-----------------|
x->3-| 2 |
\ -9 + x /
$$\lim_{x \to 3^-}\left(\frac{\left(x - 3\right) \left(x + 3\right)^{2}}{x^{2} - 9}\right)$$
6
$$6$$
= 6
= 6