Sr Examen
-x+2y; 3x-2y
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
De ecuación 1 expresamos x
$$- x + 2 y = 0$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- x = - 2 y$$
$$- x = - 2 y$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{\left(-1\right) x}{-1} = \frac{\left(-1\right) 2 y}{-1}$$
$$x = 2 y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$3 x - 2 y = 0$$
Obtenemos:
$$- 2 y + 3 \cdot 2 y = 0$$
$$4 y = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$$
$$y = 0$$
Como
$$x = 2 y$$
entonces
$$x = 0 \cdot 2$$
$$x = 0$$
Respuesta:
$$x = 0$$
$$y = 0$$
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
De ecuación 1 expresamos x
$$- x + 2 y = 0$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- x = - 2 y$$
$$- x = - 2 y$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{\left(-1\right) x}{-1} = \frac{\left(-1\right) 2 y}{-1}$$
$$x = 2 y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$3 x - 2 y = 0$$
Obtenemos:
$$- 2 y + 3 \cdot 2 y = 0$$
$$4 y = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{4 y}{4} = \frac{0}{4}$$
$$y = 0$$
Como
$$x = 2 y$$
entonces
$$x = 0 \cdot 2$$
$$x = 0$$
Respuesta:
$$x = 0$$
$$y = 0$$
Respuesta rápida
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$0$$
=
0
$$x_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Regla de Cramer
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} + 2 x_{2}\\3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 2\\3 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -4$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 2\\0 & -2\end{matrix}\right] \right)}}{4} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 0\\3 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{4} = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}- x_{1} + 2 x_{2}\\3 x_{1} - 2 x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 2\\3 & -2\end{matrix}\right] \right)} = -4$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}0 & 2\\0 & -2\end{matrix}\right] \right)}}{4} = 0$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}-1 & 0\\3 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{4} = 0$$
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 0\\3 & -2 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - - -3 & -2 - \left(-3\right) 2 & - \left(-3\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 0\\0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 - \frac{0}{2} & 2 - \frac{4}{2} & - \frac{0}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$- x_{1} = 0$$
$$4 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$- x + 2 y = 0$$
$$3 x - 2 y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 0\\3 & -2 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - - -3 & -2 - \left(-3\right) 2 & - \left(-3\right) 0\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 2 & 0\\0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-1 - \frac{0}{2} & 2 - \frac{4}{2} & - \frac{0}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & 4 & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$- x_{1} = 0$$
$$4 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = 0$$
Respuesta numérica
[src]
x1 = 0 y1 = -1.033975765691285e-25
x2 = -7.754818242684634e-26 y2 = -1.033975765691285e-25
x3 = 0 y3 = 1.033975765691285e-25
x4 = -5.169878828456423e-26 y4 = -1.033975765691285e-25
x5 = 0 y5 = 0
x6 = -5.169878828456423e-26 y6 = -5.169878828456423e-26
x7 = -2.067951531382569e-25 y7 = -2.067951531382569e-25
x8 = 2.067951531382569e-25 y8 = 2.067951531382569e-25
x9 = 0 y9 = 7.754818242684634e-26
x10 = 5.169878828456423e-26 y10 = 5.169878828456423e-26
x10 = 5.169878828456423e-26 y10 = 5.169878828456423e-26