Sr Examen
x+y=24; 2x=y
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 24$$
$$2 x = y$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 24$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 24 - y$$
$$x = 24 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x = y$$
Obtenemos:
$$2 \left(24 - y\right) = y$$
$$48 - 2 y = y$$
Pasamos el sumando con la variable y del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$- y + \left(48 - 2 y\right) = 0$$
$$48 - 3 y = 0$$
Pasamos el sumando libre 48 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 3 y = -48$$
$$- 3 y = -48$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 3 y}{-3} = - \frac{48}{-3}$$
$$y = 16$$
Como
$$x = 24 - y$$
entonces
$$x = 24 - 16$$
$$x = 8$$
Respuesta:
$$x = 8$$
$$y = 16$$
$$x + y = 24$$
$$2 x = y$$
De ecuación 1 expresamos x
$$x + y = 24$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$x = 24 - y$$
$$x = 24 - y$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$2 x = y$$
Obtenemos:
$$2 \left(24 - y\right) = y$$
$$48 - 2 y = y$$
Pasamos el sumando con la variable y del miembro derecho al izquierdo cambiamos el signo
$$- y + \left(48 - 2 y\right) = 0$$
$$48 - 3 y = 0$$
Pasamos el sumando libre 48 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$- 3 y = -48$$
$$- 3 y = -48$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\left(-1\right) 3 y}{-3} = - \frac{48}{-3}$$
$$y = 16$$
Como
$$x = 24 - y$$
entonces
$$x = 24 - 16$$
$$x = 8$$
Respuesta:
$$x = 8$$
$$y = 16$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 8$$
=
$$8$$
=
$$y_{1} = 16$$
=
$$16$$
=
=
$$8$$
=
8
$$y_{1} = 16$$
=
$$16$$
=
16
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$x + y = 24$$
$$2 x = y$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 24$$
$$2 x - y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 24\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 24\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 - 1 & - 2 \cdot 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 24\\0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - - -1 & 24 - - -16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 8\\0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 8 = 0$$
$$48 - 3 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 16$$
$$x + y = 24$$
$$2 x = y$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 24$$
$$2 x - y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 24\\2 & -1 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 24\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}\left(-1\right) 2 + 2 & \left(-1\right) 2 - 1 & - 2 \cdot 24\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 1 & 24\\0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}1 - \frac{\left(-1\right) 0}{3} & 1 - - -1 & 24 - - -16\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 8\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 8\\0 & -3 & -48\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$x_{1} - 8 = 0$$
$$48 - 3 x_{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = 16$$
Regla de Cramer
$$x + y = 24$$
$$2 x = y$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 24$$
$$2 x - y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}24 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 8$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 24\\2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 16$$
$$2 x = y$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$x + y = 24$$
$$2 x - y = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}x_{1} + x_{2}\\2 x_{1} - x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}24\\0\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 1\\2 & -1\end{matrix}\right] \right)} = -3$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}24 & 1\\0 & -1\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 8$$
$$x_{2} = - \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}1 & 24\\2 & 0\end{matrix}\right] \right)}}{3} = 16$$