Sr Examen
2x-y=4; 3x+y=6
Solución
Solución detallada
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
De ecuación 1 expresamos x
$$2 x - y = 4$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$2 x = y + 4$$
$$2 x = y + 4$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{y + 4}{2}$$
$$x = \frac{y}{2} + 2$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$3 x + y = 6$$
Obtenemos:
$$y + 3 \left(\frac{y}{2} + 2\right) = 6$$
$$\frac{5 y}{2} + 6 = 6$$
Pasamos el sumando libre 6 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$\frac{5 y}{2} = -6 + 6$$
$$\frac{5 y}{2} = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\frac{5}{2} y}{\frac{5}{2}} = \frac{0}{\frac{5}{2}}$$
$$y = 0$$
Como
$$x = \frac{y}{2} + 2$$
entonces
$$x = \frac{0}{2} + 2$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = 0$$
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
De ecuación 1 expresamos x
$$2 x - y = 4$$
Pasamos el sumando con la variable y de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$2 x = y + 4$$
$$2 x = y + 4$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de x
$$\frac{2 x}{2} = \frac{y + 4}{2}$$
$$x = \frac{y}{2} + 2$$
Ponemos el resultado x en ecuación 2
$$3 x + y = 6$$
Obtenemos:
$$y + 3 \left(\frac{y}{2} + 2\right) = 6$$
$$\frac{5 y}{2} + 6 = 6$$
Pasamos el sumando libre 6 de la parte izquierda a la derecha cambiamos el signo
$$\frac{5 y}{2} = -6 + 6$$
$$\frac{5 y}{2} = 0$$
Devidimos ambás partes de la ecuación por el multiplicador de y
$$\frac{\frac{5}{2} y}{\frac{5}{2}} = \frac{0}{\frac{5}{2}}$$
$$y = 0$$
Como
$$x = \frac{y}{2} + 2$$
entonces
$$x = \frac{0}{2} + 2$$
$$x = 2$$
Respuesta:
$$x = 2$$
$$y = 0$$
Respuesta rápida
$$x_{1} = 2$$
=
$$2$$
=
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
=
$$2$$
=
2
$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=
0
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 4\\3 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{2 \cdot 3}{2} & 1 - - \frac{3}{2} & 6 - \frac{3 \cdot 4}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 4\\0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-2\right) 5}{2 \cdot 5} & 4 - \frac{\left(-2\right) 0}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 4\\3 & 1 & 6\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 4\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}3 - \frac{2 \cdot 3}{2} & 1 - - \frac{3}{2} & 6 - \frac{3 \cdot 4}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & -1 & 4\\0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}-1\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}2 - \frac{\left(-2\right) 0}{5} & -1 - \frac{\left(-2\right) 5}{2 \cdot 5} & 4 - \frac{\left(-2\right) 0}{5}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}2 & 0 & 4\\0 & \frac{5}{2} & 0\end{matrix}\right]$$
Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$2 x_{1} - 4 = 0$$
$$\frac{5 x_{2}}{2} = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 0$$
Regla de Cramer
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 5$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -1\\6 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 4\\3 & 6\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 0$$
$$3 x + y = 6$$
Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$2 x - y = 4$$
$$3 x + y = 6$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}2 x_{1} - x_{2}\\3 x_{1} + x_{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right]$$
- es el sistema de ecuaciones en forma de
A*x = B
De la siguiente forma resolvemos una ecuación matriz de este tipo aplicando la regla de Cramer:
Como el determinante de la matriz:
$$A = \operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & -1\\3 & 1\end{matrix}\right] \right)} = 5$$
, entonces
Raíz xi obtenemos dividiendo el determinador de la matriz Ai. por el determinador de la matriz A.
( Ai obtenemos sustituyendo en la matriz A de columna i por columna B )
$$x_{1} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}4 & -1\\6 & 1\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 2$$
$$x_{2} = \frac{\operatorname{det}{\left(\left[\begin{matrix}2 & 4\\3 & 6\end{matrix}\right] \right)}}{5} = 0$$
Respuesta numérica
[src]
x1 = 2.0 y1 = 1.033975765691285e-25
x2 = 2.0 y2 = 5.169878828456423e-26
x3 = 2.0 y3 = 0
x4 = 2.0 y4 = 2.067951531382569e-25
x5 = 2.0 y5 = 1.809457589959748e-25
x6 = 2.0 y6 = -1.033975765691285e-25
x6 = 2.0 y6 = -1.033975765691285e-25