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2x+y-3z+4q=1; 3x+2y+4z-3q=-1; x-3y-z-2q=0; x+15y+5z+9q=0

Gráfico:

interior superior

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
2*x + y - 3*z + 4*q = 1
$$4 q + \left(- 3 z + \left(2 x + y\right)\right) = 1$$
3*x + 2*y + 4*z - 3*q = -1
$$- 3 q + \left(4 z + \left(3 x + 2 y\right)\right) = -1$$
x - 3*y - z - 2*q = 0
$$- 2 q + \left(- z + \left(x - 3 y\right)\right) = 0$$
x + 15*y + 5*z + 9*q = 0
$$9 q + \left(5 z + \left(x + 15 y\right)\right) = 0$$
9*q + 5*z + x + 15*y = 0
Respuesta rápida
$$y_{1} = - \frac{59 z}{67} - \frac{11}{67}$$
=
$$- \frac{59 z}{67} - \frac{11}{67}$$
=
-0.164179104477612 - 0.880597014925373*z

$$x_{1} = \frac{10 z}{67} + \frac{3}{67}$$
=
$$\frac{10 z}{67} + \frac{3}{67}$$
=
0.0447761194029851 + 0.149253731343284*z

$$q_{1} = \frac{60 z}{67} + \frac{18}{67}$$
=
$$\frac{60 z}{67} + \frac{18}{67}$$
=
0.26865671641791 + 0.895522388059702*z
Método de Gauss
Tenemos el sistema de ecuaciones
$$4 q + \left(- 3 z + \left(2 x + y\right)\right) = 1$$
$$- 3 q + \left(4 z + \left(3 x + 2 y\right)\right) = -1$$
$$- 2 q + \left(- z + \left(x - 3 y\right)\right) = 0$$
$$9 q + \left(5 z + \left(x + 15 y\right)\right) = 0$$

Expresamos el sistema de ecuaciones en su forma canónica
$$4 q + 2 x + y - 3 z = 1$$
$$- 3 q + 3 x + 2 y + 4 z = -1$$
$$- 2 q + x - 3 y - z = 0$$
$$9 q + x + 15 y + 5 z = 0$$
Presentamos el sistema de ecuaciones lineales como matriz
$$\left[\begin{matrix}4 & 2 & 1 & -3 & 1\\-3 & 3 & 2 & 4 & -1\\-2 & 1 & -3 & -1 & 0\\9 & 1 & 15 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}4\\-3\\-2\\9\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}4 & 2 & 1 & -3 & 1\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-3 - \frac{\left(-3\right) 4}{4} & 3 - \frac{\left(-3\right) 2}{4} & 2 - - \frac{3}{4} & 4 - - \frac{-9}{4} & -1 - - \frac{3}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 2 & 1 & -3 & 1\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\-2 & 1 & -3 & -1 & 0\\9 & 1 & 15 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}-2 - \frac{\left(-1\right) 4}{2} & 1 - \frac{\left(-1\right) 2}{2} & -3 - - \frac{1}{2} & - \frac{\left(-1\right) \left(-1\right) 3}{2} - 1 & - \frac{-1}{2}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 2 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 2 & 1 & -3 & 1\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\0 & 2 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{1}{2}\\9 & 1 & 15 & 5 & 0\end{matrix}\right]$$
De 4 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}9 - \frac{4 \cdot 9}{4} & 1 - \frac{2 \cdot 9}{4} & \frac{\left(-1\right) 9}{4} + 15 & 5 - - \frac{27}{4} & \frac{\left(-1\right) 9}{4}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & - \frac{7}{2} & \frac{51}{4} & \frac{47}{4} & - \frac{9}{4}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 2 & 1 & -3 & 1\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\0 & 2 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{1}{2}\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{51}{4} & \frac{47}{4} & - \frac{9}{4}\end{matrix}\right]$$
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}2\\\frac{9}{2}\\2\\- \frac{7}{2}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \frac{0 \cdot 4}{9} & 2 - \frac{4 \cdot 9}{2 \cdot 9} & 1 - \frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 9} & -3 - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 9} & 1 - - \frac{1}{9}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{34}{9} & \frac{10}{9}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{34}{9} & \frac{10}{9}\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\0 & 2 & - \frac{5}{2} & - \frac{5}{2} & \frac{1}{2}\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{51}{4} & \frac{47}{4} & - \frac{9}{4}\end{matrix}\right]$$
De 3 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{0 \cdot 4}{9} & 2 - \frac{4 \cdot 9}{2 \cdot 9} & - \frac{5}{2} - \frac{4 \cdot 11}{4 \cdot 9} & - \frac{5}{2} - \frac{4 \cdot 7}{4 \cdot 9} & \frac{1}{2} - - \frac{1}{9}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{34}{9} & \frac{10}{9}\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\\0 & - \frac{7}{2} & \frac{51}{4} & \frac{47}{4} & - \frac{9}{4}\end{matrix}\right]$$
De 4 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-7\right) 0}{9} & - \frac{7}{2} - \frac{\left(-7\right) 9}{2 \cdot 9} & \frac{51}{4} - \frac{\left(-7\right) 11}{4 \cdot 9} & \frac{47}{4} - \frac{\left(-7\right) 7}{4 \cdot 9} & - \frac{9}{4} - - \frac{-7}{36}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & \frac{134}{9} & \frac{118}{9} & - \frac{22}{9}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & - \frac{2}{9} & - \frac{34}{9} & \frac{10}{9}\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\\0 & 0 & \frac{134}{9} & \frac{118}{9} & - \frac{22}{9}\end{matrix}\right]$$
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}- \frac{2}{9}\\\frac{11}{4}\\- \frac{67}{18}\\\frac{134}{9}\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
De 1 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}4 - \frac{0 \cdot 4}{67} & - \frac{0 \cdot 4}{67} & - \frac{2}{9} - - \frac{2}{9} & - \frac{34}{9} - - \frac{118}{603} & \frac{10}{9} - \frac{4 \cdot 11}{18 \cdot 67}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{240}{67} & \frac{72}{67}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{240}{67} & \frac{72}{67}\\0 & \frac{9}{2} & \frac{11}{4} & \frac{7}{4} & - \frac{1}{4}\\0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\\0 & 0 & \frac{134}{9} & \frac{118}{9} & - \frac{22}{9}\end{matrix}\right]$$
De 2 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \frac{\left(-99\right) 0}{134} & \frac{9}{2} - \frac{\left(-99\right) 0}{134} & \frac{11}{4} - - \frac{-11}{4} & \frac{7}{4} - - \frac{-649}{268} & - \frac{1}{4} - \frac{\left(-99\right) 11}{18 \cdot 134}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & \frac{9}{2} & 0 & - \frac{45}{67} & \frac{27}{134}\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{240}{67} & \frac{72}{67}\\0 & \frac{9}{2} & 0 & - \frac{45}{67} & \frac{27}{134}\\0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\\0 & 0 & \frac{134}{9} & \frac{118}{9} & - \frac{22}{9}\end{matrix}\right]$$
De 4 de fila restamos:
$$\left[\begin{matrix}- \left(-4\right) 0 & - \left(-4\right) 0 & \frac{134}{9} - - \frac{-134}{9} & \frac{118}{9} - - \frac{-118}{9} & - \frac{22}{9} - - \frac{22}{9}\end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
obtenemos
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{240}{67} & \frac{72}{67}\\0 & \frac{9}{2} & 0 & - \frac{45}{67} & \frac{27}{134}\\0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]$$
En 1 de columna
$$\left[\begin{matrix}4\\0\\0\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
1 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 1 fila
$$\left[\begin{matrix}4 & 0 & 0 & - \frac{240}{67} & \frac{72}{67}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 2 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\\frac{9}{2}\\0\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
2 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 2 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & \frac{9}{2} & 0 & - \frac{45}{67} & \frac{27}{134}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:
En 3 de columna
$$\left[\begin{matrix}0\\0\\- \frac{67}{18}\\0\end{matrix}\right]$$
hacemos que todos los elementos excepto
3 -del elemento son iguales a cero.
- Para ello, cogemos 3 fila
$$\left[\begin{matrix}0 & 0 & - \frac{67}{18} & - \frac{59}{18} & \frac{11}{18}\end{matrix}\right]$$
,
y lo restaremos de otras filas:

Todo está casi listo, sólo hace falta encontrar la incógnita, resolviendo las ecuaciones ordinarias:
$$4 x_{1} - \frac{240 x_{4}}{67} - \frac{72}{67} = 0$$
$$\frac{9 x_{2}}{2} - \frac{45 x_{4}}{67} - \frac{27}{134} = 0$$
$$- \frac{67 x_{3}}{18} - \frac{59 x_{4}}{18} - \frac{11}{18} = 0$$
$$0 - 0 = 0$$
Obtenemos como resultado:
$$x_{1} = \frac{60 x_{4}}{67} + \frac{18}{67}$$
$$x_{2} = \frac{10 x_{4}}{67} + \frac{3}{67}$$
$$x_{3} = - \frac{59 x_{4}}{67} - \frac{11}{67}$$
donde x4 - variables libres
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