Sr Examen
2x^2+2y^2-z^2-2xy+4yz+4xz-22x-4y+2z+16=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 2 16 - z - 22*x - 4*y + 2*z + 2*x + 2*y - 2*x*y + 4*x*z + 4*y*z = 0
$$2 x^{2} - 2 x y + 4 x z - 22 x + 2 y^{2} + 4 y z - 4 y - z^{2} + 2 z + 16 = 0$$
2*x^2 - 2*x*y + 4*x*z - 22*x + 2*y^2 + 4*y*z - 4*y - z^2 + 2*z + 16 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$2 x^{2} - 2 x y + 4 x z - 22 x + 2 y^{2} + 4 y z - 4 y - z^{2} + 2 z + 16 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 2$$
$$a_{14} = -11$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{24} = -2$$
$$a_{33} = -1$$
$$a_{34} = 1$$
$$a_{44} = 16$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 2\\-1 & 2 & 2\\2 & 2 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 2 & -11\\-1 & 2 & 2 & -2\\2 & 2 & -1 & 1\\-11 & -2 & 1 & 16\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -1 & 2\\-1 & 2 - \lambda & 2\\2 & 2 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -9$$
$$I_{3} = -27$$
$$I_{4} = 27$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 3 \lambda^{2} + 9 \lambda - 27$$
$$K_{2} = -78$$
$$K_{3} = -369$$
Como
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 3 \lambda^{2} - 9 \lambda + 27 = 0$$
$$\lambda_{1} = -3$$
$$\lambda_{2} = 3$$
$$\lambda_{3} = 3$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$- 3 \tilde x^{2} + 3 \tilde y^{2} + 3 \tilde z^{2} - 1 = 0$$
$$- \frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{3}}{1}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{3}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{3}}{1}\right)^{2}}\right) = 1$$
es la ecuación para el tipo hiperboloide unilateral
- está reducida a la forma canónica
$$2 x^{2} - 2 x y + 4 x z - 22 x + 2 y^{2} + 4 y z - 4 y - z^{2} + 2 z + 16 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x z + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y z + 2 a_{24} y + a_{33} z^{2} + 2 a_{34} z + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 2$$
$$a_{12} = -1$$
$$a_{13} = 2$$
$$a_{14} = -11$$
$$a_{22} = 2$$
$$a_{23} = 2$$
$$a_{24} = -2$$
$$a_{33} = -1$$
$$a_{34} = 1$$
$$a_{44} = 16$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
|a11 a12| |a22 a23| |a11 a13|
I2 = | | + | | + | |
|a12 a22| |a23 a33| |a13 a33|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a14| |a22 a24| |a33 a34|
K2 = | | + | | + | |
|a14 a44| |a24 a44| |a34 a44| |a11 a12 a14| |a22 a23 a24| |a11 a13 a14|
| | | | | |
K3 = |a12 a22 a24| + |a23 a33 a34| + |a13 a33 a34|
| | | | | |
|a14 a24 a44| |a24 a34 a44| |a14 a34 a44|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|2 -1| |2 2 | |2 2 |
I2 = | | + | | + | |
|-1 2 | |2 -1| |2 -1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 2\\-1 & 2 & 2\\2 & 2 & -1\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}2 & -1 & 2 & -11\\-1 & 2 & 2 & -2\\2 & 2 & -1 & 1\\-11 & -2 & 1 & 16\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & -1 & 2\\-1 & 2 - \lambda & 2\\2 & 2 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
| 2 -11| |2 -2| |-1 1 |
K2 = | | + | | + | |
|-11 16 | |-2 16| |1 16| | 2 -1 -11| |2 2 -2| | 2 2 -11|
| | | | | |
K3 = |-1 2 -2 | + |2 -1 1 | + | 2 -1 1 |
| | | | | |
|-11 -2 16 | |-2 1 16| |-11 1 16 |$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -9$$
$$I_{3} = -27$$
$$I_{4} = 27$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + 3 \lambda^{2} + 9 \lambda - 27$$
$$K_{2} = -78$$
$$K_{3} = -369$$
Como
I3 != 0
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - 3 \lambda^{2} - 9 \lambda + 27 = 0$$
$$\lambda_{1} = -3$$
$$\lambda_{2} = 3$$
$$\lambda_{3} = 3$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\left(\tilde z^{2} \lambda_{3} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right)\right) + \frac{I_{4}}{I_{3}} = 0$$
$$- 3 \tilde x^{2} + 3 \tilde y^{2} + 3 \tilde z^{2} - 1 = 0$$
$$- \frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{3}}{1}\right)^{2}} + \left(\frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{3}}{1}\right)^{2}} + \frac{\tilde z^{2}}{\left(\frac{\frac{1}{3} \sqrt{3}}{1}\right)^{2}}\right) = 1$$
es la ecuación para el tipo hiperboloide unilateral
- está reducida a la forma canónica