Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x^{2} + 5 x = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = \frac{5}{2}$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -1$$
|-1 0|
I2 = | |
|0 0|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 0 & \frac{5}{2}\\0 & 0 & 0\\\frac{5}{2} & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
|-1 5/2| |0 0|
K2 = | | + | |
|5/2 0 | |0 0|
$$I_{1} = -1$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda$$
$$K_{2} = - \frac{25}{4}$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} < 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos
$$I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
o
$$\frac{25}{4} - \tilde y^{2} = 0$$
None
- está reducida a la forma canónica