Sr Examen

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2x^2+3y^2+12x-6y+21 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

Ha introducido [src]

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21 - 6*y + 2*x  + 3*y  + 12*x = 0

2 x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 6 y + 21 = 0

2*x^2 + 12*x + 3*y^2 - 6*y + 21 = 0

Solución detallada

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:

2 x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 6 y + 21 = 0

Esta ecuación tiene la forma:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0

donde

a_{11} = 2

a_{12} = 0

a_{13} = 6

a_{22} = 3

a_{23} = -3

a_{33} = 21

Calculemos el determinante

\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|

o, sustituimos

\Delta = \left|\begin{matrix}2 & 0\\0 & 3\end{matrix}\right|

\Delta = 6

Como

\Delta

no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones

a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0

a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0

sustituimos coeficientes

2 x_{0} + 6 = 0

3 y_{0} - 3 = 0

entonces

x_{0} = -3

y_{0} = 1

Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'

a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0

donde

a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}

a'_{33} = 6 x_{0} - 3 y_{0} + 21

a'_{33} = 0

entonces la ecuación se transformará en

2 x'^{2} + 3 y'^{2} = 0

Esta ecuación es una elipsis degenerada

\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} = 0

- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O

(-3, 1)

Base de las coordenadas canónicas

\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)

\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)

Método de invariantes

Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:

2 x^{2} + 12 x + 3 y^{2} - 6 y + 21 = 0

Esta ecuación tiene la forma:

a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0

donde

a_{11} = 2

a_{12} = 0

a_{13} = 6

a_{22} = 3

a_{23} = -3

a_{33} = 21

Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:

I_{1} = a_{11} + a_{22}

     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|

I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|

     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes

I_{1} = 5

     |2  0|
I2 = |    |
     |0  3|

I_{3} = \left|\begin{matrix}2 & 0 & 6\\0 & 3 & -3\\6 & -3 & 21\end{matrix}\right|

I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}2 - \lambda & 0\\0 & 3 - \lambda\end{matrix}\right|

     |2  6 |   |3   -3|
K2 = |     | + |      |
     |6  21|   |-3  21|

I_{1} = 5

I_{2} = 6

I_{3} = 0

I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda + 6

K_{2} = 60

Como

I_{3} = 0 \wedge I_{2} > 0

entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : elipsis degenerada
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:

- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0

\lambda^{2} - 5 \lambda + 6 = 0

\lambda_{1} = 3

\lambda_{2} = 2

entonces la forma canónica de la ecuación será

\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0

3 \tilde x^{2} + 2 \tilde y^{2} = 0

\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}} = 0

- está reducida a la forma canónica