Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$3 x^{2} - 6 x + 7 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 3$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = -3$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 7$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|3 0|
I2 = | |
|0 0|
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}3 & 0 & -3\\0 & 0 & 0\\-3 & 0 & 7\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}3 - \lambda & 0\\0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
|3 -3| |0 0|
K2 = | | + | |
|-3 7 | |0 7|
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = 0$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda$$
$$K_{2} = 12$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge K_{2} > 0 \wedge I_{1} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos imaginarios
$$I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0$$
o
$$3 \tilde y^{2} + 4 = 0$$
None
- está reducida a la forma canónica