Sr Examen
4*x^2+y^2+4x*y+6*sqrt(5)*x-2*sqrt(5)*y-5=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 ___ ___ -5 + y + 4*x - 2*y*\/ 5 + 4*x*y + 6*x*\/ 5 = 0
$$4 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0$$
4*x^2 + 4*x*y + 6*sqrt(5)*x + y^2 - 2*sqrt(5)*y - 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 3 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - \sqrt{5}$$
$$a_{33} = -5$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 2\\2 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} + 4 x' y' + 6 \sqrt{5} x' + y'^{2} - 2 \sqrt{5} y' - 5 = 0$$
en
$$\left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 2 \sqrt{5} \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 6 \sqrt{5} \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 5 = 0$$
simplificamos
$$5 \tilde x^{2} + 10 \tilde x - 10 \tilde y - 5 = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 0 \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$
$$4 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 3 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - \sqrt{5}$$
$$a_{33} = -5$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 2\\2 & 1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$4 x'^{2} + 4 x' y' + 6 \sqrt{5} x' + y'^{2} - 2 \sqrt{5} y' - 5 = 0$$
en
$$\left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 2 \sqrt{5} \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 6 \sqrt{5} \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 5 = 0$$
simplificamos
$$5 \tilde x^{2} + 10 \tilde x - 10 \tilde y - 5 = 0$$
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 0 \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$4 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 3 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - \sqrt{5}$$
$$a_{33} = -5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 5$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 2 & 3 \sqrt{5}\\2 & 1 & - \sqrt{5}\\3 \sqrt{5} & - \sqrt{5} & -5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 2\\2 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 5$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -125$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda$$
$$K_{2} = -75$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$10 \tilde x + 5 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 2 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica
$$4 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 4$$
$$a_{12} = 2$$
$$a_{13} = 3 \sqrt{5}$$
$$a_{22} = 1$$
$$a_{23} = - \sqrt{5}$$
$$a_{33} = -5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 5$$
|4 2|
I2 = | |
|2 1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 2 & 3 \sqrt{5}\\2 & 1 & - \sqrt{5}\\3 \sqrt{5} & - \sqrt{5} & -5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 2\\2 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| ___| | ___|
| 4 3*\/ 5 | | 1 -\/ 5 |
K2 = | | + | |
| ___ | | ___ |
|3*\/ 5 -5 | |-\/ 5 -5 |$$I_{1} = 5$$
$$I_{2} = 0$$
$$I_{3} = -125$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda$$
$$K_{2} = -75$$
Como
$$I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
$$I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0$$
o
$$10 \tilde x + 5 \tilde y^{2} = 0$$
$$\tilde y^{2} = 2 \tilde x$$
- está reducida a la forma canónica