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Forma canónica/ 4*x^2+y^2+4x*y+6*sqrt(5)*x-2*sqrt(5)*y-5=0

4*x^2+y^2+4x*y+6*sqrt(5)*x-2*sqrt(5)*y-5=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
      2      2         ___                 ___    
-5 + y  + 4*x  - 2*y*\/ 5  + 4*x*y + 6*x*\/ 5  = 0
4x2+4xy+65x+y2−25y−5=04 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0 
4*x^2 + 4*x*y + 6*sqrt(5)*x + y^2 - 2*sqrt(5)*y - 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+4xy+65x+y2−25y−5=04 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=2a_{12} = 2
a13=35a_{13} = 3 \sqrt{5}
a22=1a_{22} = 1
a23=−5a_{23} = - \sqrt{5}
a33=−5a_{33} = -5
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣4221∣\Delta = \left|\begin{matrix}4 & 2\\2 & 1\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=34\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{4}
entonces
ϕ=acot⁡(34)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=45\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{4}{5}
cos⁡(2ϕ)=35\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=255\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}
sin⁡(ϕ)=55\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{5}}{5}
sustituimos coeficientes
x′=25x~5−5y~5x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}
y′=5x~5+25y~5y' = \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}
entonces la ecuación se transformará de
4x′2+4x′y′+65x′+y′2−25y′−5=04 x'^{2} + 4 x' y' + 6 \sqrt{5} x' + y'^{2} - 2 \sqrt{5} y' - 5 = 0
en
(5x~5+25y~5)2+4(5x~5+25y~5)(25x~5−5y~5)−25(5x~5+25y~5)+4(25x~5−5y~5)2+65(25x~5−5y~5)−5=0\left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 4 \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 2 \sqrt{5} \left(\frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + 4 \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} + 6 \sqrt{5} \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} - \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) - 5 = 0
simplificamos
5x~2+10x~−10y~−5=05 \tilde x^{2} + 10 \tilde x - 10 \tilde y - 5 = 0
Esta ecuación es con línea recta
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=0255+055x_{0} = 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5} + 0 \frac{\sqrt{5}}{5}
y0=055+0255y_{0} = 0 \frac{\sqrt{5}}{5} + 0 \frac{2 \sqrt{5}}{5}
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(255, 55)\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ \frac{\sqrt{5}}{5}\right)
e⃗2=(−55, 255)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
4x2+4xy+65x+y2−25y−5=04 x^{2} + 4 x y + 6 \sqrt{5} x + y^{2} - 2 \sqrt{5} y - 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=4a_{11} = 4
a12=2a_{12} = 2
a13=35a_{13} = 3 \sqrt{5}
a22=1a_{22} = 1
a23=−5a_{23} = - \sqrt{5}
a33=−5a_{33} = -5
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=5I_{1} = 5
     |4  2|
I2 = |    |
     |2  1|

I3=∣423521−535−5−5∣I_{3} = \left|\begin{matrix}4 & 2 & 3 \sqrt{5}\\2 & 1 & - \sqrt{5}\\3 \sqrt{5} & - \sqrt{5} & -5\end{matrix}\right|
I(λ)=∣4−λ221−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}4 - \lambda & 2\\2 & 1 - \lambda\end{matrix}\right|
     |             ___|   |           ___|
     |   4     3*\/ 5 |   |  1     -\/ 5 |
K2 = |                | + |              |
     |    ___         |   |   ___        |
     |3*\/ 5     -5   |   |-\/ 5     -5  |

I1=5I_{1} = 5
I2=0I_{2} = 0
I3=−125I_{3} = -125
I(λ)=λ2−5λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 5 \lambda
K2=−75K_{2} = -75
Como
I2=0∧I3≠0I_{2} = 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : parábola
I1y~2+2x~−I3I1=0I_{1} \tilde y^{2} + 2 \tilde x \sqrt{- \frac{I_{3}}{I_{1}}} = 0
o
10x~+5y~2=010 \tilde x + 5 \tilde y^{2} = 0
y~2=2x~\tilde y^{2} = 2 \tilde x
- está reducida a la forma canónica
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