Sr Examen
Otras calculadoras
-
¿Cómo usar?
- Forma canónica:
- 4x^2+0xy+0y^2+8x+-6y+1=0
- 7x-9y+1=0
- 2y^2-x=0
- x^2-6x-4y+29=o
- Derivada de:
-
x^2
- Gráfico de la función y =:
-
x^2
- Desigualdades:
- x^2
-
Expresiones idénticas
- xx-4xy- dos 1yy+2x-3y+ cinco =x^2
- xx menos 4xy menos 21yy más 2x menos 3y más 5 es igual a x al cuadrado
- xx menos 4xy menos dos 1yy más 2x menos 3y más cinco es igual a x al cuadrado
- xx-4xy-21yy+2x-3y+5=x2
- xx-4xy-21yy+2x-3y+5=x²
- xx-4xy-21yy+2x-3y+5=x en el grado 2
-
Expresiones semejantes
- xx-4xy+21yy+2x-3y+5=x^2
- xx+4xy-21yy+2x-3y+5=x^2
- xx-4xy-21yy-2x-3y+5=x^2
- xx-4xy-21yy+2x-3y-5=x^2
- xx-4xy-21yy+2x+3y+5=x^2
-
Expresiones con funciones
- xx
- xx-16yy+x+3y-6=0
- xx+xy+8yy=0=0
- xx+24xy+108yy=0
- xx+4xy+6yy+y=0
- xx+4xy+4yy-20x+10y-50
xx-4xy-21yy+2x-3y+5=x^2 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 5 - 21*y - 3*y + 2*x - 4*x*y = 0
$$- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0$$
-4*x*y + 2*x - 21*y^2 - 3*y + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = -21$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = 5$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & -2\\-2 & -21\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -4$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$1 - 2 y_{0} = 0$$
$$- 2 x_{0} - 21 y_{0} - \frac{3}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = -6$$
$$y_{0} = \frac{1}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} - \frac{3 y_{0}}{2} + 5$$
$$a'_{33} = - \frac{7}{4}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 4 x' y' - 21 y'^{2} - \frac{7}{4} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{21}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{21}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{457}}{457}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{21 \sqrt{457}}{457}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 4 x' y' - 21 y'^{2} - \frac{7}{4} = 0$$
en
$$- 21 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}\right) - \frac{7}{4} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{21 \tilde x^{2}}{2} + 4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \frac{441 \sqrt{457} \tilde x^{2}}{914} - \frac{84 \sqrt{457} \tilde x \tilde y}{457} + 42 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} - \frac{21 \tilde y^{2}}{2} - \frac{441 \sqrt{457} \tilde y^{2}}{914} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} - \frac{7}{4} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{457} \tilde x^{2}}{2} + \frac{21 \tilde x^{2}}{2} + \frac{21 \tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{457} \tilde y^{2}}{2} + \frac{7}{4} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{\frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}, \ \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = -21$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = 5$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & -2\\-2 & -21\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -4$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$1 - 2 y_{0} = 0$$
$$- 2 x_{0} - 21 y_{0} - \frac{3}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = -6$$
$$y_{0} = \frac{1}{2}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = x_{0} - \frac{3 y_{0}}{2} + 5$$
$$a'_{33} = - \frac{7}{4}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 4 x' y' - 21 y'^{2} - \frac{7}{4} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{21}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{21}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{457}}{457}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{21 \sqrt{457}}{457}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}$$
$$y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 4 x' y' - 21 y'^{2} - \frac{7}{4} = 0$$
en
$$- 21 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}\right) - \frac{7}{4} = 0$$
simplificamos
$$- \frac{21 \tilde x^{2}}{2} + 4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \frac{441 \sqrt{457} \tilde x^{2}}{914} - \frac{84 \sqrt{457} \tilde x \tilde y}{457} + 42 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} - \frac{21 \tilde y^{2}}{2} - \frac{441 \sqrt{457} \tilde y^{2}}{914} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} - \frac{7}{4} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{457} \tilde x^{2}}{2} + \frac{21 \tilde x^{2}}{2} + \frac{21 \tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{457} \tilde y^{2}}{2} + \frac{7}{4} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{\frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-6, 1/2)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}, \ \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = -21$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = 5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -21$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & -2 & 1\\-2 & -21 & - \frac{3}{2}\\1 & - \frac{3}{2} & 5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 21\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -21$$
$$I_{2} = -4$$
$$I_{3} = 7$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 21 \lambda - 4$$
$$K_{2} = - \frac{433}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 21 \lambda - 4 = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{457}}{2} - \frac{21}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{457}}{2} - \frac{21}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}\right) - \frac{7}{4} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{\frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica
$$- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = -21$$
$$a_{23} = - \frac{3}{2}$$
$$a_{33} = 5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -21$$
|0 -2 |
I2 = | |
|-2 -21|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & -2 & 1\\-2 & -21 & - \frac{3}{2}\\1 & - \frac{3}{2} & 5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 21\end{matrix}\right|$$
|0 1| |-21 -3/2|
K2 = | | + | |
|1 5| |-3/2 5 |$$I_{1} = -21$$
$$I_{2} = -4$$
$$I_{3} = 7$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 21 \lambda - 4$$
$$K_{2} = - \frac{433}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 21 \lambda - 4 = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{457}}{2} - \frac{21}{2}$$
$$\lambda_{2} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{457}}{2} - \frac{21}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}\right) - \frac{7}{4} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{\frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} = -1$$
- está reducida a la forma canónica