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Forma canónica/ xx-4xy-21yy+2x-3y+5=x^2

xx-4xy-21yy+2x-3y+5=x^2 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
        2                        
5 - 21*y  - 3*y + 2*x - 4*x*y = 0
−4xy+2x−21y2−3y+5=0- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0 
-4*x*y + 2*x - 21*y^2 - 3*y + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−4xy+2x−21y2−3y+5=0- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=−2a_{12} = -2
a13=1a_{13} = 1
a22=−21a_{22} = -21
a23=−32a_{23} = - \frac{3}{2}
a33=5a_{33} = 5
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣0−2−2−21∣\Delta = \left|\begin{matrix}0 & -2\\-2 & -21\end{matrix}\right|
Δ=−4\Delta = -4
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
1−2y0=01 - 2 y_{0} = 0
−2x0−21y0−32=0- 2 x_{0} - 21 y_{0} - \frac{3}{2} = 0
entonces
x0=−6x_{0} = -6
y0=12y_{0} = \frac{1}{2}
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=x0−3y02+5a'_{33} = x_{0} - \frac{3 y_{0}}{2} + 5
a33′=−74a'_{33} = - \frac{7}{4}
entonces la ecuación se transformará en
−4x′y′−21y′2−74=0- 4 x' y' - 21 y'^{2} - \frac{7}{4} = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=−214\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{21}{4}
entonces
ϕ=−acot⁡(214)2\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{21}{4} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=−4457457\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4 \sqrt{457}}{457}
cos⁡(2ϕ)=21457457\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{21 \sqrt{457}}{457}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=21457914+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=−12−21457914\sin{\left(\phi \right)} = - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}
sustituimos coeficientes
x′=x~21457914+12+y~12−21457914x' = \tilde x \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}
y′=−x~12−21457914+y~21457914+12y' = - \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}
entonces la ecuación se transformará de
−4x′y′−21y′2−74=0- 4 x' y' - 21 y'^{2} - \frac{7}{4} = 0
en
−21(−x~12−21457914+y~21457914+12)2−4(−x~12−21457914+y~21457914+12)(x~21457914+12+y~12−21457914)−74=0- 21 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 4 \left(- \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} + \tilde y \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}\right) - \frac{7}{4} = 0
simplificamos
−21x~22+4x~212−2145791421457914+12+441457x~2914−84457x~y~457+42x~y~12−2145791421457914+12−21y~22−441457y~2914−4y~212−2145791421457914+12−74=0- \frac{21 \tilde x^{2}}{2} + 4 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} + \frac{441 \sqrt{457} \tilde x^{2}}{914} - \frac{84 \sqrt{457} \tilde x \tilde y}{457} + 42 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} - \frac{21 \tilde y^{2}}{2} - \frac{441 \sqrt{457} \tilde y^{2}}{914} - 4 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}} \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}} - \frac{7}{4} = 0
−457x~22+21x~22+21y~22+457y~22+74=0- \frac{\sqrt{457} \tilde x^{2}}{2} + \frac{21 \tilde x^{2}}{2} + \frac{21 \tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{457} \tilde y^{2}}{2} + \frac{7}{4} = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~2741−212+4572−y~2741212+4572=1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{\frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-6, 1/2)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(21457914+12, −12−21457914)\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}, \ - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}\right)
e⃗2=(12−21457914, 21457914+12)\vec e_2 = \left( \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{21 \sqrt{457}}{914}}, \ \sqrt{\frac{21 \sqrt{457}}{914} + \frac{1}{2}}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−4xy+2x−21y2−3y+5=0- 4 x y + 2 x - 21 y^{2} - 3 y + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=−2a_{12} = -2
a13=1a_{13} = 1
a22=−21a_{22} = -21
a23=−32a_{23} = - \frac{3}{2}
a33=5a_{33} = 5
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−21I_{1} = -21
     |0   -2 |
I2 = |       |
     |-2  -21|

I3=∣0−21−2−21−321−325∣I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & -2 & 1\\-2 & -21 & - \frac{3}{2}\\1 & - \frac{3}{2} & 5\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−2−2−λ−21∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 21\end{matrix}\right|
     |0  1|   |-21   -3/2|
K2 = |    | + |          |
     |1  5|   |-3/2   5  |

I1=−21I_{1} = -21
I2=−4I_{2} = -4
I3=7I_{3} = 7
I(λ)=λ2+21λ−4I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 21 \lambda - 4
K2=−4334K_{2} = - \frac{433}{4}
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+21λ−4=0\lambda^{2} + 21 \lambda - 4 = 0
λ1=−4572−212\lambda_{1} = - \frac{\sqrt{457}}{2} - \frac{21}{2}
λ2=−212+4572\lambda_{2} = - \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
x~2(−4572−212)+y~2(−212+4572)−74=0\tilde x^{2} \left(- \frac{\sqrt{457}}{2} - \frac{21}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}\right) - \frac{7}{4} = 0
x~2741212+4572−y~2741−212+4572=−1\frac{\tilde x^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{\frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{7}{4} \frac{1}{- \frac{21}{2} + \frac{\sqrt{457}}{2}}} = -1
- está reducida a la forma canónica
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