Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} + 2 x - 1 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 1$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = -1$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & 0\\0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 0$$
Como
$$\Delta$$
es igual a 0, entonces
$$\left(\tilde x + 1\right)^{2} = 2$$
$$\tilde x'^{2} = 2$$
Esta ecuación es dos rectas paralelas
- está reducida a la forma canónica
donde se ha hecho la sustitución
$$\tilde x' = \tilde x + 1$$
$$\tilde y' = \tilde y$$
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
$$x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
$$x_{0} = -1 + 0 \cdot 0$$
$$y_{0} = - 0$$
$$x_{0} = -1$$
$$y_{0} = 0$$
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$