Sr Examen

Otras calculadoras

Forma canónica/ 2*x*y+2*x+2*y-3=0

2*x*y+2*x+2*y-3=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
-3 + 2*x + 2*y + 2*x*y = 0
2xy+2x+2y−3=02 x y + 2 x + 2 y - 3 = 0 
2*x*y + 2*x + 2*y - 3 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2xy+2x+2y−3=02 x y + 2 x + 2 y - 3 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=1a_{12} = 1
a13=1a_{13} = 1
a22=0a_{22} = 0
a23=1a_{23} = 1
a33=−3a_{33} = -3
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣0110∣\Delta = \left|\begin{matrix}0 & 1\\1 & 0\end{matrix}\right|
Δ=−1\Delta = -1
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
y0+1=0y_{0} + 1 = 0
x0+1=0x_{0} + 1 = 0
entonces
x0=−1x_{0} = -1
y0=−1y_{0} = -1
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=x0+y0−3a'_{33} = x_{0} + y_{0} - 3
a33′=−5a'_{33} = -5
entonces la ecuación se transformará en
2x′y′−5=02 x' y' - 5 = 0
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=0\cot{\left(2 \phi \right)} = 0
entonces
ϕ=π4\phi = \frac{\pi}{4}
sin⁡(2ϕ)=1\sin{\left(2 \phi \right)} = 1
cos⁡(2ϕ)=0\cos{\left(2 \phi \right)} = 0
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=22\cos{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
sin⁡(ϕ)=22\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}
sustituimos coeficientes
x′=2x~2−2y~2x' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}
y′=2x~2+2y~2y' = \frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}
entonces la ecuación se transformará de
2x′y′−5=02 x' y' - 5 = 0
en
2(2x~2−2y~2)(2x~2+2y~2)−5=02 \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} - \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{2} \tilde x}{2} + \frac{\sqrt{2} \tilde y}{2}\right) - 5 = 0
simplificamos
x~2−y~2−5=0\tilde x^{2} - \tilde y^{2} - 5 = 0
−x~2+y~2+5=0- \tilde x^{2} + \tilde y^{2} + 5 = 0
Esta ecuación es una hipérbola
x~25−y~25=1\frac{\tilde x^{2}}{5} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1, -1)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(22, 22)\vec e_1 = \left( \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
e⃗2=(−22, 22)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{2}}{2}, \ \frac{\sqrt{2}}{2}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
2xy+2x+2y−3=02 x y + 2 x + 2 y - 3 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=0a_{11} = 0
a12=1a_{12} = 1
a13=1a_{13} = 1
a22=0a_{22} = 0
a23=1a_{23} = 1
a33=−3a_{33} = -3
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=0I_{1} = 0
     |0  1|
I2 = |    |
     |1  0|

I3=∣01110111−3∣I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\\1 & 1 & -3\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ11−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & 1\\1 & - \lambda\end{matrix}\right|
     |0  1 |   |0  1 |
K2 = |     | + |     |
     |1  -3|   |1  -3|

I1=0I_{1} = 0
I2=−1I_{2} = -1
I3=5I_{3} = 5
I(λ)=λ2−1I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 1
K2=−2K_{2} = -2
Como
I2<0∧I3≠0I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2−1=0\lambda^{2} - 1 = 0
λ1=−1\lambda_{1} = -1
λ2=1\lambda_{2} = 1
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
−x~2+y~2−5=0- \tilde x^{2} + \tilde y^{2} - 5 = 0
x~25−y~25=−1\frac{\tilde x^{2}}{5} - \frac{\tilde y^{2}}{5} = -1
- está reducida a la forma canónica
    © Sr Examen – Калькулятор