Derivada de (x-tgx)*cosx

Solución

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(x - tan(x))*cos(x)

$$\left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$$

(x - tan(x))*cos(x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = x - \tan{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. diferenciamos $x - \tan{\left(x \right)}$ miembro por miembro:
  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
  2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del seno es igual al coseno:
        
        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
        
        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Entonces, como resultado: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de: $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1$
$g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
Como resultado de: $- \left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} + \left(- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cos{\left(x \right)}$
Simplificamos:

$- x \sin{\left(x \right)}$

Respuesta:

$- x \sin{\left(x \right)}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

     2                                
- tan (x)*cos(x) - (x - tan(x))*sin(x)

$$- \left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}$$

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Segunda derivada [src]

                            2               /       2   \              
-(x - tan(x))*cos(x) + 2*tan (x)*sin(x) - 2*\1 + tan (x)/*cos(x)*tan(x)

$$- \left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)} - 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 2 \sin{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                           2               /       2   \ /         2   \            /       2   \              
(x - tan(x))*sin(x) + 3*tan (x)*cos(x) - 2*\1 + tan (x)/*\1 + 3*tan (x)/*cos(x) + 6*\1 + tan (x)/*sin(x)*tan(x)

$$\left(x - \tan{\left(x \right)}\right) \sin{\left(x \right)} - 2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(x \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \tan{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}$$

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Gráfico

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¿Cómo usar?

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Derivada de (x-tgx)*cosx

Gráfico:

Definida a trozos:

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