Derivada de y=ctgx*lncosx

Solución

Ha introducido [src]

cot(x)*log(cos(x))

$$\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)}$$

cot(x)*log(cos(x))

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
  Method #1
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
  2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
  3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
  Method #2
  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
    
    $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
    
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
    Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
    
    $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
$g{\left(x \right)} = \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \cos{\left(x \right)}$ .
2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$ .
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$ :
  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
    
    $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Como resultado de: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
Simplificamos:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 1$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - 1$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/        2   \               cot(x)*sin(x)
\-1 - cot (x)/*log(cos(x)) - -------------
                                 cos(x)

$$\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{\sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

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Segunda derivada [src]

  /       2   \            /       2   \                                            
  |    sin (x)|          2*\1 + cot (x)/*sin(x)     /       2   \                   
- |1 + -------|*cot(x) + ---------------------- + 2*\1 + cot (x)/*cot(x)*log(cos(x))
  |       2   |                  cos(x)                                             
  \    cos (x)/

$$- \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} \cot{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                                                                                                /       2   \              
                                                                                                                |    sin (x)|              
                                                                                                              2*|1 + -------|*cot(x)*sin(x)
                /       2   \                                                   /       2   \                   |       2   |              
  /       2   \ |    sin (x)|     /       2   \ /         2   \               6*\1 + cot (x)/*cot(x)*sin(x)     \    cos (x)/              
3*\1 + cot (x)/*|1 + -------| - 2*\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/*log(cos(x)) - ----------------------------- - -----------------------------
                |       2   |                                                             cos(x)                          cos(x)           
                \    cos (x)/

$$3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - \frac{2 \left(\frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} - 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(x \right)} \cot{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Expresiones con funciones

Derivada de y=ctgx*lncosx

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2