Derivada de -(x(x+8)/(x+4)^2)

1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x \left(x + 8\right)$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 4\right)^{2}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = x + 8$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x + 8$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de: $2 x + 8$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 4$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 4\right)$:

         1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

            1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

            2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 x + 8$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{- x \left(x + 8\right) \left(2 x + 8\right) + \left(x + 4\right)^{2} \left(2 x + 8\right)}{\left(x + 4\right)^{4}}$

   Entonces, como resultado: $- \frac{- x \left(x + 8\right) \left(2 x + 8\right) + \left(x + 4\right)^{2} \left(2 x + 8\right)}{\left(x + 4\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{32}{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}$

Respuesta:

$- \frac{32}{x^{3} + 12 x^{2} + 48 x + 64}$