Derivada de y=lnsqrt2x/x+1

1. diferenciamos $1 + \frac{\log{\left(\sqrt{2 x} \right)}}{x}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{2 x} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = x$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = \sqrt{2 x}$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{2 x}$:

         1. Sustituimos $u = 2 x$.

         2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 2 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $2$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{2 x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\frac{1}{2} - \log{\left(\sqrt{2 x} \right)}}{x^{2}}$

   2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $\frac{\frac{1}{2} - \log{\left(\sqrt{2 x} \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{\log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(2 \right)}}{2 x^{2}}$

Respuesta:

$- \frac{\log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(2 \right)}}{2 x^{2}}$