Derivada de y(x)=(5x^3-2cbrtx)(1/2x^2+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \left(- 2 \sqrt[3]{x} + 5 x^{3}\right) \left(x^{2} + 2\right)$ y $g{\left(x \right)} = 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2} + 2$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         Como resultado de: $2 x$

      $g{\left(x \right)} = - 2 \sqrt[3]{x} + 5 x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $- 2 \sqrt[3]{x} + 5 x^{3}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt[3]{x}$ tenemos $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

            Entonces, como resultado: $- \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $15 x^{2}$

         Como resultado de: $15 x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

      Como resultado de: $2 x \left(- 2 \sqrt[3]{x} + 5 x^{3}\right) + \left(x^{2} + 2\right) \left(15 x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $x \left(- 2 \sqrt[3]{x} + 5 x^{3}\right) + \frac{\left(x^{2} + 2\right) \left(15 x^{2} - \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)}{2}$

2. Simplificamos:

   $\frac{75 x^{\frac{14}{3}} + 90 x^{\frac{8}{3}} - 14 x^{2} - 4}{6 x^{\frac{2}{3}}}$

Respuesta:

$\frac{75 x^{\frac{14}{3}} + 90 x^{\frac{8}{3}} - 14 x^{2} - 4}{6 x^{\frac{2}{3}}}$