Derivada de y=x^2(4x-x^3)^2

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

   $g{\left(x \right)} = \left(- x^{3} + 4 x\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = - x^{3} + 4 x$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x^{3} + 4 x\right)$:

      1. diferenciamos $- x^{3} + 4 x$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $4$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            Entonces, como resultado: $- 3 x^{2}$

         Como resultado de: $4 - 3 x^{2}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\left(4 - 3 x^{2}\right) \left(- 2 x^{3} + 8 x\right)$

   Como resultado de: $x^{2} \left(4 - 3 x^{2}\right) \left(- 2 x^{3} + 8 x\right) + 2 x \left(- x^{3} + 4 x\right)^{2}$

2. Simplificamos:

   $8 x^{3} \left(x^{2} - 4\right) \left(x^{2} - 2\right)$

Respuesta:

$8 x^{3} \left(x^{2} - 4\right) \left(x^{2} - 2\right)$